Resolva a equação completando o quadrado.
x^{2}-7 x+\frac{5}{4}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação por completamento do quadrado:
x^{2}-7x+\frac{5}{4}=0.
Informações dadas (peguei direto do enunciado):
  • Coeficiente de x^{2}: 1.
  • Coeficiente de x: -7.
  • Termo constante: \dfrac{5}{4}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): completar o quadrado transforma a parte quadrática e a parte linear numa expressão do tipo (x - h)^{2} mais/menos uma constante. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0 com a=1 usa-se a identidade
x^{2}+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui já temos a=1, então podemos aplicar diretamente essa construção com b=-7. O objetivo é escrever a expressão quadrática como um quadrado perfeito mais uma constante.

Passo 3

Calcular \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} com b=-7:
\left(\frac{-7}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}.

Passo 4

Acrescentar e subtrair \dfrac{49}{4} na expressão para formar o quadrado perfeito:
x^{2}-7x+\frac{5}{4} = \biggl(x^{2}-7x+\frac{49}{4}\biggr)-\frac{49}{4}+\frac{5}{4}.
A parte entre parênteses é agora um quadrado perfeito.

Passo 5

Reescrever o quadrado perfeito e simplificar as constantes:
x^{2}-7x+\frac{5}{4} = \left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{49}{4}+\frac{5}{4}.
Agora calcular -\dfrac{49}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{-44}{4}=-11. Logo
x^{2}-7x+\frac{5}{4}=\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-11.

Passo 6

Voltar à equação original e usar a forma completada:
\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-11=0.
Isolando o quadrado:
\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=11.

Passo 7

Aplicar raiz quadrada em ambos os lados, lembrando do sinal \pm:
x-\frac{7}{2}=\pm\sqrt{11}.
Portanto
x=\frac{7}{2}\pm\sqrt{11}.

Passo 8

Opcional — escrever as soluções como fração única (equivalente):
x=\frac{7\pm 2\sqrt{11}}{2}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{7}{2}+\sqrt{11}
\displaystyle x=\frac{7}{2}-\sqrt{11}

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