Resolva a equação completando o quadrado.
x^{2}+5 x-9=0

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação pelo método de completar o quadrado. A equação dada é
x^{2}+5x-9=0.
Informações relevantes (coeficientes que vamos usar):
  • a=1 (coeficiente de x^{2});
  • b=5 (coeficiente de x);
  • c=-9 (termo constante).

Passo 2

O que significa “completar o quadrado” e por que funciona?
  • A ideia é transformar o polinômio quadrático em um quadrado perfeito do tipo (x+\alpha)^{2} mais uma constante.
  • Para um termo x^{2}+bx sabemos que
x^{2}+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui \frac{b}{2} é a metade do coeficiente de x. Isso vem da expansão
\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{b}{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Explicando cada símbolo: b é o coeficiente de x; \frac{b}{2} é metade dele; \left(\frac{b}{2}\right)^{2} é o número que devemos adicionar para formar o quadrado perfeito.

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação com b=5. A metade de b é \frac{5}{2} e o quadrado dessa metade é \left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}. Vamos adicionar e subtrair esse valor na equação para não alterar o problema:
x^{2}+5x-9 = x^{2}+5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}-9=0.
Agora os três primeiros termos formam o quadrado perfeito:
\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}-9=0.

Passo 4

Somar as constantes que ficaram juntas: converter 9 para quarto-dezisimos para somar com -\dfrac{25}{4}:
- \frac{25}{4}-9 = -\frac{25}{4}-\frac{36}{4} = -\frac{61}{4}.
Logo a equação fica
\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{61}{4}=0.

Passo 5

Isolando o quadrado perfeito:
\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{61}{4}.
Agora aplicamos raiz quadrada nos dois lados lembrando do sinal \pm:
x+\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{61}}{2}.

Passo 6

Deslocando \dfrac{5}{2} para obter x:
x=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{61}}{2}.
Colocando em uma única fração:
x=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{-5+\sqrt{61}}{2}
\displaystyle x=\frac{-5-\sqrt{61}}{2}

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