Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da solução de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com amortecimento, ou seja,
sujeita às condições iniciais
Vamos usar o método padrão de equação característica para resolver.
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo
:
Calculando o discriminante,
logo há uma raiz real dupla
.
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral é da forma
Passo 4
Impondo as condições iniciais:
e
Em
temos
, logo
. Portanto
Passo 5
Analisando
:
- Em
, e . - Para
, , ou seja, é decrescente. - Como
, a solução tende a zero sem oscilações (amortecimento crítico). - A concavidade muda em
, pois passa de negativa para positiva.
O esboço do gráfico é uma curva que parte de
com inclinação zero, decai monotonicamente e se aproxima de zero, sem ultrapassá-lo, mudando de concavidade em
.
Resposta
gráfico monotonamente decrescente de
até
, sem oscilações, com mudança de concavidade em
.