Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
(b)
ddotx+2 dotx+x=0, x(0)=1, dotx(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da solução de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com amortecimento, ou seja,
ddotx + 2dotx + x = 0,
sujeita às condições iniciais
x(0) = 1, dotx(0)=0
Vamos usar o método padrão de equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo x(t)=e^rt:
r^2 + 2r + 1 = 0
Calculando o discriminante,
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot1 = 4 - 4 = 0,
logo há uma raiz real dupla r = -1.

Passo 3

Para raiz dupla r=-1, a solução geral é da forma
x(t) = (C1 + C2,t),e^-t

Passo 4

Impondo as condições iniciais:
x(0) = C1 = 1,
e
dotx(t) = ddtl[(C1 + C2 t)e^-tr] = C2 e^-t - (C1 + C2 t)e^-t = e^-t(C2 - C1 - C2 t)
Em t=0 temos dotx(0)=C2 - C1 = 0, logo C2 = C1 = 1. Portanto
x(t) = (1 + t),e^-t

Passo 5

Analisando x(t)=(1+t)e^-t:
  • Em t=0, x(0)=1 e dotx(0)=0.
  • Para t>0, dotx(t)=-t,e^-t<0, ou seja, é decrescente.
  • Como limttoinfty(1+t)e^-t=0, a solução tende a zero sem oscilações (amortecimento crítico).
  • A concavidade muda em t=1, pois ddotx(t)=e^-t(t-1) passa de negativa para positiva.
O esboço do gráfico é uma curva que parte de 1 com inclinação zero, decai monotonicamente e se aproxima de zero, sem ultrapassá-lo, mudando de concavidade em t=1.

Resposta

x(t) = (1 + t),e^-t,
gráfico monotonamente decrescente de x(0)=1 até 0, sem oscilações, com mudança de concavidade em t=1.

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