Resolva:
2 x y+3 x^2+(x^2+2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2xy + 3x^2 + (x^2+2),dydx = 0
Queremos achar a solução geral y(x). O conteúdo aqui é reconhecer e resolver uma equação diferencial exata.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
temos
M(x,y) = 2xy + 3x^2, N(x,y) = x^2 + 2
Para verificar exatidão checamos
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 2x,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (2xy + 3x^2),dx = x^2y + x^3 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que depende só de y.

Passo 4

Para determinar h(y) usamos
partial Phipartial y = x^2 + h'(y) = N(x,y) = x^2 + 2
Logo
h'(y) = 2 Longrightarrow h(y) = 2y
Portanto
Phi(x,y) = x^2y + x^3 + 2y

Passo 5

A solução geral implícita é
Phi(x,y) = C Longrightarrow x^2y + x^3 + 2y = C
Isolando y, obtemos a forma explícita
y = C - x^3x^2 + 2

Resposta

boxedy(x) = C - x^3x^2 + 2,
onde C é constante de integração.

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