Resolva a equação diferencial
d yd t-2 y=4-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a equação diferencial dydt - 2y = 4 - t. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares: dydt + P(t)y = Q(t). No nosso caso, temos:
dydt - 2y = 4 - t
Então, identificamos P(t) = -2 e Q(t) = 4 - t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t) = -2, temos:
mu(t) = e^integral -2 dt = e^-2t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = e^-2t:
e^-2t cdot dydt - 2 e^-2t y = (4 - t) e^-2t
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de y cdot e^-2t em relação a t:
ddt ( y cdot e^-2t ) = (4 - t) e^-2t
Isso acontece porque aplicamos a regra do produto na derivada.

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação em relação a t:
integral ddt ( y cdot e^-2t ) dt = integral (4 - t) e^-2t dt
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá y cdot e^-2t.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral do lado direito integral (4 - t) e^-2t dt. Vamos fazer isso separadamente:
integral 4 e^-2t dt - integral t e^-2t dt
A primeira integral é direta, e a segunda exige integração por partes.

Passo 8

Calculando a primeira parte:
integral 4 e^-2t dt = 4 cdot ( -12 e^-2t ) = -2 e^-2t

Passo 9

Para a segunda parte integral t e^-2t dt, usamos a integração por partes onde u = t e dv = e^-2t dt. Então, du = dt e v = -12 e^-2t. Aplicando:
integral t e^-2t dt = -t2 e^-2t + 12 integral e^-2t dt = -t2 e^-2t - 14 e^-2t

Passo 10

Juntando as duas partes:
integral (4 - t) e^-2t dt = -2 e^-2t - t2 e^-2t - 14 e^-2t + C
Simplificando:
- (2 + t2 + 14) e^-2t + C = -(94 + t2) e^-2t + C

Passo 11

Voltando à equação original integrada:
y cdot e^-2t = -(94 + t2) e^-2t + C
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^-2t:
y = -(94 + t2) + C e^2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -94 - t2 + C e^2t
onde C é uma constante arbitrária.

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