Resolva a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão das equações diferenciais lineares:
. No nosso caso, temos:
Então, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, facilita a resolução. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de
em relação a
:
Isso acontece porque aplicamos a regra do produto na derivada.
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada nos dá
.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral do lado direito
. Vamos fazer isso separadamente:
A primeira integral é direta, e a segunda exige integração por partes.
Passo 8
Calculando a primeira parte:
Passo 9
Para a segunda parte
, usamos a integração por partes onde
e
. Então,
e
. Aplicando:
Passo 10
Juntando as duas partes:
Simplificando:
Passo 11
Voltando à equação original integrada:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.