Resolva a equação
d yd x=a y+bc y+d^prime
onde a, b, c e d são constantes.
Resp: y=ca y+a d-b ca^2 ln |a y+b|+k, a neq 0, a y+b neq 0.

Passo 1

Queremos resolver a equação diferencial dydx=a y+bc y+d. O conteúdo é equações de variáveis separáveis, então vamos rearranjar para colocar x de um lado e y do outro antes de integrar.

Passo 2

Reescrevemos a equação invertendo e separando variáveis:
dx=c y+da y+b,dy

Passo 3

Decompomos o integrando usando divisão de polinômios. Note que
c y+d=ca(a y+b)+ad-bca
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c y+da y+b=ca+ad-bcacdot1a y+b

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dx=integrall(ca+ad-bcacdot1a y+br)dy
Isso resulta em
x+k=cay+ad-bca^2lnlvert a y+brvert , onde k é a constante de integração.

Resposta

cay+ad-bca^2lnlvert a y+brvert=x+k ,\quad a\neq0,;a y+b\neq0

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