Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
. Resp:
.
Passo 1
Opa! Temos a equação diferencial
. É de primeira ordem e queremos resolver por separação de variáveis, mas antes vamos fazer uma mudança para simplificar: como aparecem as combinações
e
, definimos uma nova variável
.
Passo 2
Derivando
, a gente tem
, então
. De quebra, nota que
.
Substituindo tudo na equação original rola:
Substituindo tudo na equação original rola:
o que, ao expandir, vira
Passo 3
Aí é só separar variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Logo
Passo 5
Agora basta voltar em
e multiplicar tudo por 25 pra limpar os coeficientes:
Reorganizando os termos, chegamos a
e essa é a forma implícita da solução.
Resposta
5x + 10y + C = 3 \ln|10x - 5y + 6|