Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
(2 x-y) d x+(4 x-2 y+3) d y=0. Resp: 5 x+10 y+c=3 ln |10 x-5 y+6|.

Passo 1

Opa! Temos a equação diferencial (2x - y),dx + (4x - 2y + 3),dy = 0. É de primeira ordem e queremos resolver por separação de variáveis, mas antes vamos fazer uma mudança para simplificar: como aparecem as combinações 2x - y e 4x - 2y + 3, definimos uma nova variável u = 2x - y.

Passo 2

Derivando u = 2x - y, a gente tem du = 2,dx - dy, então dy = 2,dx - du. De quebra, nota que 4x - 2y + 3 = 2u + 3.
Substituindo tudo na equação original rola:
u,dx + (2u+3)(2,dx - du) = 0,
o que, ao expandir, vira
(5u + 6),dx - (2u + 3),du = 0

Passo 3

Aí é só separar variáveis:
(5u+6),dx = (2u+3),du
Rightarrow dx = 2u+35u+6,du

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dx = x + C1,
integral 2u+35u+6,du = integrall(25 + 3/55u+6r),du = 25u + 325ln|5u+6| + C2
Logo
x = 25u + 325ln|5u+6| + C

Passo 5

Agora basta voltar em u = 2x - y e multiplicar tudo por 25 pra limpar os coeficientes:
25x = 10(2x - y) + 3ln|10x - 5y + 6| + C'
Reorganizando os termos, chegamos a
5x + 10y = 3ln|10x - 5y + 6| + tilde C,
e essa é a forma implícita da solução.

Resposta

5x + 10y + C = 3 \ln|10x - 5y + 6|

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