Resolva a equação dada por separação de variáveis.
d x+e^{3 x} d y=0;

Passo 1

O problema pede pra resolver a EDO
\mathrm{d}x + e^{3x}\,\mathrm{d}y = 0.
Isso é uma equação separável: dá pra juntar tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de x do outro.

Passo 2

Isolamos \mathrm{d}y. Passando \mathrm{d}x para o outro lado e dividindo por e^{3x}, temos
e^{3x}\,\mathrm{d}y = -\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}y = -\,e^{-3x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Agora é só integrar ambos os lados:
\int \mathrm{d}y = -\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x.
No lado esquerdo sai y. No direito, como
\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x = -\tfrac{1}{3}e^{-3x},
então
-\int e^{-3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{-3x} + C.
Logo chegamos à forma explícita
y = \frac{1}{3}e^{-3x} + C.

Passo 4

Se você preferir uma forma implícita, basta multiplicar por 3 e absorver constantes:
3y - e^{-3x} = C'.

Resposta

\displaystyle y = \frac{1}{3}e^{-3x} + C

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