Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
\left(1+x^{4}\right) d y+x\left(1+4 y^{2}\right) d x=0, y(1)=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(1+x^{4}\bigr)\,dy + x\bigl(1+4y^{2}\bigr)\,dx = 0
com a condição inicial y(1)=0.
Esse é um caso de equação de variáveis separáveis, pois podemos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevendo como uma derivada dy/dx, temos
(1+x^4)\,\frac{dy}{dx} + x\,(1+4y^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x\,(1+4y^2)}{1+x^4}.
Agora separamos as variáveis:
\frac{dy}{1+4y^2} = -\frac{x\,dx}{1+x^4}.

Passo 3

Integramos ambos os lados.
À esquerda, use u=2y\Rightarrow du=2\,dy:
\int \frac{dy}{1+4y^2} = \int \frac{du/2}{1+u^2} = \frac12\arctan(u) = \frac12\arctan(2y).
À direita, use t=x^2\Rightarrow dt=2x\,dx:
\int -\frac{x\,dx}{1+x^4} = -\int \frac{dt/2}{1+t^2} = -\frac12\arctan(t) = -\frac12\arctan(x^2).
Logo a integral geral é
\frac12\arctan(2y) = -\frac12\arctan(x^2) + C.
Multiplicando por 2, obtemos
\arctan(2y) + \arctan(x^2) = C'.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
\arctan\bigl(2\cdot0\bigr) + \arctan(1^2) = 0 + \frac\pi4 = C',
portanto C'=\pi/4. A solução implícita fica
\arctan(2y) + \arctan(x^2) = \frac\pi4.

Passo 5

Isolamos y. Da identidade de tangente da diferença:
2y = \tan\!\Bigl(\tfrac\pi4 - \arctan(x^2)\Bigr) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2},
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y(x) = \frac{1 - x^2}{2\,(1 + x^2)}.

Resposta

y(x) = \frac{1 - x^2}{2\,(1 + x^2)}.

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