Considere o PVI
[
\left{ \begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=x y^{1 / 2} \\\ y(0)=0 \end{array}\right.
Mostre que y=0 e y=\frac{1}{16} x^{4} são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?]

Passo 1

O problema é o PVI
\frac{dy}{dx} = x\,\sqrt{y},\qquad y(0)=0.
O conteúdo é EDO de primeira ordem (separável) e o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf. Vamos verificar diretamente as duas funções e depois checar as hipóteses do teorema.

Passo 2

Verificando y=0. Nesse caso,
\frac{dy}{dx}=0
e
x\,\sqrt{y}=x\cdot\sqrt{0}=0,
logo ambas as parcelas da equação coincidem, mostrando que y=0 é solução.

Passo 3

Verificando \displaystyle y=\frac{1}{16}x^4. Calculamos
\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3}{16} = \frac{x^3}{4},
enquanto
x\,\sqrt{y} = x\cdot\sqrt{\frac{x^4}{16}} = x\cdot\frac{x^2}{4} = \frac{x^3}{4}.
Como os dois lados são iguais, essa função também é solução.

Passo 4

Ambas satisfazem a condição inicial:
y(0)=0
tanto para y=0 quanto para y=\tfrac{1}{16}x^4.

Passo 5

O Teorema de Picard exige que f(x,y)=x\sqrt{y} seja Lipschitz em y numa vizinhança de (0,0). Porém
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{x}{2\sqrt{y}}
não é limitada quando y\to0. Logo não há garantia de unicidade junto a y=0, e as duas soluções coexistem sem contradizer o teorema.

Resposta

As duas funções satisfazem o PVI e não há contradição com o Teorema de Existência e Unicidade, pois f(x,y)=x\sqrt{y} não é Lipschitz em y na vizinhança de y=0.

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