Considere o PVI
[
\left{
\right.
Mostre que
e
são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?]
\left{
Passo 1
O problema é o PVI
O conteúdo é EDO de primeira ordem (separável) e o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf. Vamos verificar diretamente as duas funções e depois checar as hipóteses do teorema.
Passo 2
Verificando
. Nesse caso,
e
logo ambas as parcelas da equação coincidem, mostrando que
é solução.
Passo 3
Verificando
. Calculamos
enquanto
Como os dois lados são iguais, essa função também é solução.
Passo 4
Ambas satisfazem a condição inicial:
tanto para
quanto para
.
Passo 5
O Teorema de Picard exige que
seja Lipschitz em
numa vizinhança de
. Porém
não é limitada quando
. Logo não há garantia de unicidade junto a
, e as duas soluções coexistem sem contradizer o teorema.
Resposta
As duas funções satisfazem o PVI e não há contradição com o Teorema de Existência e Unicidade, pois
não é Lipschitz em
na vizinhança de
.