Resolva a equação dada por separação de variáveis.
\frac{d S}{d r}=k S;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dS}{dr} = k\,S
usando o método de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis S e r e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em S de um lado e em r do outro:
\frac{1}{S}\,\frac{dS}{dr} = k
e reescrevemos como diferencial total:
\frac{dS}{S} = k\,dr.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dS}{S} = \int k\,dr,
o que dá
\ln\bigl|S\bigr| = k\,r + C_1,
onde C_1 é a constante de integração.

Passo 4

Elevando exponencial em ambos os lados, obtemos
\bigl|S\bigr| = e^{k\,r + C_1} = e^{C_1}\,e^{k\,r}.
Definindo C = \pm e^{C_1}, temos a solução geral
S(r) = C\,e^{k\,r},
onde C é a constante de integração arbitrária.

Resposta

S(r) = C\,e^{k\,r},\quad C\in\mathbb{R}.

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