Resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
Aqui
, o operador é linear, e temos uma constante como “forçamento”. Vamos usar o método geral: primeiro achamos a solução da parte homogênea, depois uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Formamos a equação característica
cuja solução é
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é constante (
), tentamos um polinômio de grau zero:
. Mas esse chute pertence à homogênea (gera só constante), então multiplicamos por
e escolhemos
Calculamos
e substituímos em
:
Assim
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma
Resposta
com
constantes arbitrárias.