Resolva a equação.
ddotx-10 dotx+25=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
ddotx-10dotx+25=0
Aqui x=x(t), o operador é linear, e temos uma constante como “forçamento”. Vamos usar o método geral: primeiro achamos a solução da parte homogênea, depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
ddotxh-10dotxh=0
Formamos a equação característica
r^2-10r=0
cuja solução é r=0 e r=10. Logo a solução geral da homogênea é
xh(t)=C1 + C2 e^10t

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é constante ( +25), tentamos um polinômio de grau zero: xp=A. Mas esse chute pertence à homogênea (gera só constante), então multiplicamos por t e escolhemos
xp(t)=A,t
Calculamos
dotxp = A, ddotxp=0,
e substituímos em ddotx-10dotx+25=0:
0 -10A +25 =0 Longrightarrow A=tfrac2510=tfrac52
Assim
xp(t)=52,t

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma
x(t)=xh(t)+xp(t) =C1 + C2 e^10t + 52,t

Resposta

x(t)=C1 + C2 e^10t + 52,t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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