A solução da equação diferencial
d yd x=x^2+x y+y^2x^2
é:
(a) arctg(xy)=log y+c
(b) arctg(yx)=log x+c;
(c) arctg(xy)=log x+c;
(d) nenhuma destas

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = x^2 + x y + y^2x^2
que é uma equação homogênea (o numerador é homogêneo de grau 2 e o denominador é x^2). Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
onde v é uma função de x.

Passo 2

Substituindo y=vx calculamos
dydx = v + xdvdx
No lado direito da ODE, dividindo o numerador por x^2 obtemos
x^2 + x y + y^2x^2 = 1 + yx + l(yxr)^2 = 1 + v + v^2
Logo a equação fica
v + xdvdx = 1 + v + v^2

Passo 3

Cancelando v dos dois lados, isolamos o diferencial de v:
xdvdx = 1 + v^2 Longrightarrow dv1 + v^2 = dxx
Agora temos uma equação separável em v e x.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dv1 + v^2 = integral dxx Longrightarrow arctan(v) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que v = tfracyx, obtemos
arctan!l(yxr) = lnlvert xrvert + C

Resposta

(b) arctan!l(tfracyxr)=log x + c

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