Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Então, temos a equação diferencial $ y^{4} e^{2x} , dx + dy = 0 $. Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais separáveis e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Subtraímos $ y^{4} e^{2x} , dx $ de ambos os lados:
y^4 e^2x , dx

Passo 3

Agora, vamos colocar todos os termos envolvendo $ y $ de um lado e os termos envolvendo $ x $ do outro lado. Dividimos ambos os lados por $ y^{4} $:
y
Isso nos deixa com uma equação separável, onde podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y^4 , dy = integral -e^2x , dx

Passo 5

Calculamos as integrais:
Do lado esquerdo:
integral y^-4 , dy = y^-3-3 + C1 = -13y^3 + C1
Do lado direito:
integral -e^2x , dx = -e^2x2 + C2

Passo 6

Igualamos as duas integrais e combinamos as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma constante geral $ C $:
C1

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados da equação por -1 para simplificar:
13y^3 = e^2x2 - C
Podemos reescrever a constante $ -C $ como apenas $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
-C

Passo 8

Isolamos $ y^{3} $:
y^3
Simplificando:
y^3 = 13( e^2x2 + C )
Podemos renomear a constante $ 6C $ como apenas $ C $:
y^3 = 23e^2x + 6C

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para obter $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ( 23e^2x + C )^13

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