Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial $ y^{4} e^{2x} , dx + dy = 0 $. Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais separáveis e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Subtraímos $ y^{4} e^{2x} , dx $ de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos colocar todos os termos envolvendo $ y $ de um lado e os termos envolvendo $ x $ do outro lado. Dividimos ambos os lados por $ y^{4} $:
Isso nos deixa com uma equação separável, onde podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 5
Calculamos as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Passo 6
Igualamos as duas integrais e combinamos as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma constante geral $ C $:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para simplificar:
Podemos reescrever a constante $ -C $ como apenas $ C $ (já que $ C $ é uma constante arbitrária):
Passo 8
Isolamos $ y^{3} $:
Simplificando:
Podemos renomear a constante $ 6C $ como apenas $ C $:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para obter $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: