Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais, especificamente as que são separáveis ou lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e integrar para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Podemos reescrever isso isolando
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial da forma
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e, na verdade, também é separável. Vamos resolver separando as variáveis
e
.
Passo 4
Vamos separar os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral do lado esquerdo é fácil:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.