Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é sec (x) , dy - 2y , dx = 0. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais, especificamente as que são separáveis ou lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
sec(x) , dy - 2y , dx = 0
Podemos reescrever isso isolando dy/dx:
sec(x) , dydx = 2y
Dividindo ambos os lados por sec(x), temos:
dydx = 2y cos(x)

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial da forma dydx = 2y cos(x). Essa é uma equação linear de primeira ordem e, na verdade, também é separável. Vamos resolver separando as variáveis y e x.

Passo 4

Vamos separar os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo x do outro. Dividindo ambos os lados por y, temos:
1y , dy = 2 cos(x) , dx
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação:
integral 1y , dy = integral 2 cos(x) , dx
A integral do lado esquerdo é fácil:
ln|y| = 2 sin(x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para y. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y = e^2 sin(x) + C = e^C cdot e^2 sin(x)
Podemos simplificar e^C como uma nova constante K:
y = K e^2 sin(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = C , e^2 sin(x), onde C é uma constante.

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