Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
x tan(y) - y' sec(x) = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que basicamente são equações que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ (a derivada de $ y $ em relação a $ x $) isolada. A equação original é:
y'
Vamos mover $ y’ \sec(x) $ para o outro lado:
y
Agora, dividindo ambos os lados por $ \sec(x) $:
x
Porque $ \tan(y) \cos(x) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)} \cos(x) $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para que ela fique na forma que permite a separação de variáveis:
dydx = x tan(y) cos(x)
Podemos expressar $ \tan(y) $ como $ \frac{\sin(y)}{\cos(y)} $, então:
tan(y)
Agora, a equação está na forma:
sin(y)cos(y)
onde $ F(x) = x \cos(x) $ e $ G(y) = \sin(y) $.

Passo 4

Vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $:
y
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, então podemos integrar ambos os lados.

Passo 5

Vamos integrar o lado esquerdo e o lado direito separadamente.
Lado esquerdo:
integral dysin(y) = integral csc(y) dy = -ln|tan(y2)| + C1
Lado direito:
Para integrar $ \int x \cos(x) dx $, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
  • $ u = x $ → $ du = dx $
  • $ dv = \cos(x) dx $ → $ v = \sin(x) $
Então,
integral x cos(x) dx

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
-ln|tan(y2)| = x sin(x) + cos(x) + C
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante de integração.

Passo 7

Podemos resolver para $ y $ se quisermos, mas geralmente deixamos nessa forma implícita. Então, a solução geral da equação diferencial é:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-ln|tan(y2)| = x sin(x) + cos(x) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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