Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que basicamente são equações que envolvem derivadas de uma função desconhecida. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ (a derivada de $ y $ em relação a $ x $) isolada. A equação original é:
Vamos mover $ y’ \sec(x) $ para o outro lado:
Agora, dividindo ambos os lados por $ \sec(x) $:
Porque $ \tan(y) \cos(x) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)} \cos(x) $.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para que ela fique na forma que permite a separação de variáveis:
Podemos expressar $ \tan(y) $ como $ \frac{\sin(y)}{\cos(y)} $, então:
Agora, a equação está na forma:
onde $ F(x) = x \cos(x) $ e $ G(y) = \sin(y) $.
Passo 4
Vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, então podemos integrar ambos os lados.
Passo 5
Vamos integrar o lado esquerdo e o lado direito separadamente.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Para integrar $ \int x \cos(x) dx $, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
- $ u = x $ → $ du = dx $
- $ dv = \cos(x) dx $ → $ v = \sin(x) $
Então,
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante de integração.
Passo 7
Podemos resolver para $ y $ se quisermos, mas geralmente deixamos nessa forma implícita. Então, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.