para x\in(0,\pi/2). O que se pede é a solução geral y(x) nesta faixa de x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O intervalo é x\in(0,\pi/2), onde \cos(x)>0. Portanto é permitido dividir a equação por \cos(x) sem problemas.
A equação é de primeira ordem não linear; é plausível que exista a solução trivial y\equiv0 (verificação rápida: se y=0 então y'=0 e a equação é satisfeita).
Queremos a solução geral (ou família de soluções) envolvendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: dividir a equação dada por \cos(x) (válido porque \cos(x)\neq0 no intervalo indicado). Assim obtemos
y'+\frac{1}{\cos(x)}\,y+[1+\sin(x)]\,y^{2}=0.
Reescrevendo, colocamos os termos de ordem em y de um lado:
y'+\frac{1}{\cos(x)}\,y = -[1+\sin(x)]\,y^{2}.
Passo 3
Reconhecimento da forma de Bernoulli: uma equação de Bernoulli tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Comparando com a equação acima vemos que aqui n=2, P(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e Q(x) = -[1+\sin(x)]. Ou seja,
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{2}.
Passo 4
Truque padrão para Bernoulli com n\neq1: fazer a substituição
u = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Agora calculamos u' em termos de y e y'. Derivando u= y^{-1} obtemos
u' = -y^{-2}\,y' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Esta relação é essencial para transformar a equação original numa equação linear em u.
Passo 5
Multiplicando a equação de Bernoulli por -y^{-2} convertemos o lado com y' em u'. Fazendo isso temos, a partir de
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{2},
multiplicando por -y^{-2} obtemos
-u'\;-\;P(x)\,y^{-1} \;=\; -Q(x).
Usando u=y^{-1} isto fica
u' - P(x)\,u = -Q(x).
No nosso caso Q(x)=-[1+\sin(x)], então -Q(x)=1+\sin(x). Portanto a equação linear para u é
u' - \frac{1}{\cos(x)}\,u = 1+\sin(x).
Passo 6
Resolver esta equação linear de primeira ordem usando fator integrante. A forma padrão é
u' + a(x)u = b(x),
aqui a(x) = -\dfrac{1}{\cos(x)} e b(x)=1+\sin(x), mas é mais direto usar a forma u' - P(x)u = 1+\sin(x) com P(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}.
Devemos lembrar de incluir a solução trivial y\equiv0 que não foi alcançada pela substituição u=1/y. Assim a família completa de soluções é composta pela expressão acima (com constante arbitrária C) e pela solução y=0.