Calcule a solução geral da equação de Bernoulli:
\cos (x) y^{\prime}+y+[1+\sin (x)] \cos (x) y^{2}=0
para x \in(0, \pi / 2).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\cos(x)\,y'+y+[1+\sin(x)]\cos(x)\,y^{2}=0,
para x\in(0,\pi/2). O que se pede é a solução geral y(x) nesta faixa de x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O intervalo é x\in(0,\pi/2), onde \cos(x)>0. Portanto é permitido dividir a equação por \cos(x) sem problemas.
  • A equação é de primeira ordem não linear; é plausível que exista a solução trivial y\equiv0 (verificação rápida: se y=0 então y'=0 e a equação é satisfeita).
  • Queremos a solução geral (ou família de soluções) envolvendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: dividir a equação dada por \cos(x) (válido porque \cos(x)\neq0 no intervalo indicado). Assim obtemos
y'+\frac{1}{\cos(x)}\,y+[1+\sin(x)]\,y^{2}=0.
Reescrevendo, colocamos os termos de ordem em y de um lado:
y'+\frac{1}{\cos(x)}\,y = -[1+\sin(x)]\,y^{2}.

Passo 3

Reconhecimento da forma de Bernoulli: uma equação de Bernoulli tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Comparando com a equação acima vemos que aqui n=2, P(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} e Q(x) = -[1+\sin(x)]. Ou seja,
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{2}.

Passo 4

Truque padrão para Bernoulli com n\neq1: fazer a substituição
u = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Agora calculamos u' em termos de y e y'. Derivando u= y^{-1} obtemos
u' = -y^{-2}\,y' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Esta relação é essencial para transformar a equação original numa equação linear em u.

Passo 5

Multiplicando a equação de Bernoulli por -y^{-2} convertemos o lado com y' em u'. Fazendo isso temos, a partir de
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{2},
multiplicando por -y^{-2} obtemos
-u'\;-\;P(x)\,y^{-1} \;=\; -Q(x).
Usando u=y^{-1} isto fica
u' - P(x)\,u = -Q(x).
No nosso caso Q(x)=-[1+\sin(x)], então -Q(x)=1+\sin(x). Portanto a equação linear para u é
u' - \frac{1}{\cos(x)}\,u = 1+\sin(x).

Passo 6

Resolver esta equação linear de primeira ordem usando fator integrante. A forma padrão é
u' + a(x)u = b(x),
aqui a(x) = -\dfrac{1}{\cos(x)} e b(x)=1+\sin(x), mas é mais direto usar a forma u' - P(x)u = 1+\sin(x) com P(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}.
O fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-\int \frac{1}{\cos(x)}\,dx} = e^{-\int \operatorname{sec}(x)\,dx}.
Recordando a primitiva conhecida \displaystyle \int \operatorname{sec}(x)\,dx = \ln\big|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\big| + C, obtemos
\mu(x) = e^{-\ln|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)|} = \frac{1}{\operatorname{sec}(x)+\tan(x)}.
Como x\in(0,\pi/2) temos \operatorname{sec}(x)+\tan(x)>0 então podemos dispensar valores absolutos. Simplificando \mu:
\operatorname{sec}(x)+\tan(x)=\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)} \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}.

Passo 7

Multiplicando a equação linear por \mu(x) obtemos a forma exata:
\mu(x)\,u' - \mu(x)\,P(x)\,u = \mu(x)\,(1+\sin(x))
que é equivalente a
\big(\mu(x)\,u\big)' = \mu(x)\,(1+\sin(x)).
Mas com a simplificação encontrada, \mu(x) = \dfrac{\cos(x)}{1+\sin(x)}, temos
\mu(x)\,(1+\sin(x)) = \cos(x).
Portanto a equação torna-se
\big(\mu(x)\,u\big)' = \cos(x).

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x:
\mu(x)\,u(x) = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,
onde C é a constante de integração. Substituindo \mu(x)=\dfrac{\cos(x)}{1+\sin(x)} e lembrando u=1/y, temos
\frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\;\cdot\;\frac{1}{y(x)} = \sin(x) + C.
Isolando y(x),
\frac{1}{y(x)} = \frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\big(\sin(x)+C\big)
e portanto
y(x) = \frac{\cos(x)}{(1+\sin(x))(\sin(x)+C)}.

Passo 9

Devemos lembrar de incluir a solução trivial y\equiv0 que não foi alcançada pela substituição u=1/y. Assim a família completa de soluções é composta pela expressão acima (com constante arbitrária C) e pela solução y=0.

Resposta

y(x)=\dfrac{\cos(x)}{(1+\sin(x))(\sin(x)+C)},\quad C\in\mathbb{R}\n
y(x)\equiv 0

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