Resolva a equação diferencial:
d gd t=(g^2-9) cos (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dgdt = (g^2 - 9) cos(t). Esse tipo de equação envolve cálculo diferencial e a gente vai precisar usar métodos de separação de variáveis pra resolver. Basicamente, vamos reorganizar a equação para separar as partes que envolvem g e t, facilitando a integração de cada lado.

Passo 2

Primeiro, a gente vai separar as variáveis. Ou seja, colocar tudo que tem g de um lado e tudo que tem t do outro. A equação fica assim:
dgg^2 - 9 = cos(t) , dt
Isso facilita porque agora podemos integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A esquerda tem 1g^2 - 9 em relação a g, e a direita tem cos(t) em relação a t. Vamos começar com a parte do g:
integral 1g^2 - 9 , dg
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula de frações parciais ou reconhecendo que é uma forma de 1a^2 - x^2, cuja integral é 12a ln|a+xa-x|.

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
integral 1g^2 - 9 , dg = 16 ln|g - 3g + 3| + C1
Agora, integra a parte do cos(t):
integral cos(t) , dt = sin(t) + C2
Juntando tudo, fica:
16 ln|g - 3g + 3| = sin(t) + C
Onde C é uma constante que engloba C1 e C2.

Passo 5

Vamos simplificar a equação pra resolver g. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
ln|g - 3g + 3| = 6sin(t) + C'
Agora, aplicamos a exponencial para eliminar o logaritmo:
g - 3g + 3 = e^6sin(t) + C' = Ce^6sin(t)
Onde C = e^C' é uma nova constante.

Passo 6

Vamos resolver para g. Multiplicando ambos os lados por g + 3:
g - 3 = Ce^6sin(t) (g + 3)
Distribuindo:
g - 3 = Ce^6sin(t)g + 3Ce^6sin(t)
Reunimos os termos com g de um lado:
g - Ce^6sin(t)g = 3 + 3Ce^6sin(t)
Fatorando g:
g(1 - Ce^6sin(t)) = 3(1 + Ce^6sin(t))
Finalmente, isolando g:
g = 3(1 + Ce^6sin(t))1 - Ce^6sin(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
g(t) = 3(1 + C e^6sin(t))1 - C e^6sin(t)
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados