Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Esse tipo de equação envolve cálculo diferencial e a gente vai precisar usar métodos de separação de variáveis pra resolver. Basicamente, vamos reorganizar a equação para separar as partes que envolvem e , facilitando a integração de cada lado.
Passo 2
Primeiro, a gente vai separar as variáveis. Ou seja, colocar tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro. A equação fica assim:
Isso facilita porque agora podemos integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A esquerda tem em relação a , e a direita tem em relação a . Vamos começar com a parte do :
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula de frações parciais ou reconhecendo que é uma forma de , cuja integral é .
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
integral 1g^2 - 9 , dg = 16 ln|g - 3g + 3| + C1
Agora, integra a parte do cos(t):
integral cos(t) , dt = sin(t) + C2
Juntando tudo, fica:
16 ln|g - 3g + 3| = sin(t) + C
Onde C é uma constante que engloba C1 e C2.
Passo 5
Vamos simplificar a equação pra resolver g. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
ln|g - 3g + 3| = 6sin(t) + C'
Agora, aplicamos a exponencial para eliminar o logaritmo:
g - 3g + 3 = e^6sin(t) + C' = Ce^6sin(t)
Onde C = e^C' é uma nova constante.
Passo 6
Vamos resolver para g. Multiplicando ambos os lados por g + 3: