Resolva o problema de valor inicial:
d yd x=e^-y(4-2 x), y(2)=0
Determine o intervalo onde a solução está definida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial:
dydx = e^-y(4 - 2x), y(2) = 0
Isso significa que queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação e que passe pelo ponto $ (2, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. A equação dada é:
dydx = e^-y(4 - 2x)
Podemos reescrever isso como:
dye^-y = (4 - 2x) dx
Lembre-se que $ e^{-y} = \frac{1}{e^{y}} $, então podemos escrever:
e^-y = 1e^y
Agora, as variáveis $ y $ e $ x $ estão separadas em lados diferentes da equação.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y(x) $.
Integrando o lado esquerdo:
y(x)
Integrando o lado direito:
integral e^y dy = e^y + C1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 4

Vamos juntar as integrais:
e^y = 4x - x^2 + C
Aqui, combinamos as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial $ y(2) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na equação:
y(2) = 0

Passo 6

Agora que temos o valor de $ C $, a solução geral da equação é:
C
Para encontrar $ y $, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
e^y = 4x - x^2 - 3

Passo 7

Finalmente, precisamos determinar o intervalo onde a solução está definida. A função logaritmo natural $ \ln(z) $ está definida apenas quando $ z > 0 $. Então, precisamos que:
ln(z)
Vamos resolver a desigualdade:
z > 0
Fatorando a equação quadrática:
4x - x^2 - 3 > 0
Isso é verdadeiro quando $ x $ está entre as raízes 1 e 3.

Resposta

A solução do problema é $ y = \ln(4x - x^2 - 3) $ e ela está definida para todos os valores de $ x $ no intervalo $ 1 < x < 3 $.

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