Resolva o problema de valor inicial:
Determine o intervalo onde a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão nos dá uma equação diferencial:
Isso significa que queremos encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação e que passe pelo ponto $ (2, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Lembre-se que $ e^{-y} = \frac{1}{e^{y}} $, então podemos escrever:
Agora, as variáveis $ y $ e $ x $ estão separadas em lados diferentes da equação.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y(x) $.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 4
Vamos juntar as integrais:
Aqui, combinamos as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ y(2) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 2 $ e $ y = 0 $ na equação:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ C $, a solução geral da equação é:
Para encontrar $ y $, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 7
Finalmente, precisamos determinar o intervalo onde a solução está definida. A função logaritmo natural $ \ln(z) $ está definida apenas quando $ z > 0 $. Então, precisamos que:
Vamos resolver a desigualdade:
Fatorando a equação quadrática:
Isso é verdadeiro quando $ x $ está entre as raízes 1 e 3.
Resposta
A solução do problema é $ y = \ln(4x - x^2 - 3) $ e ela está definida para todos os valores de $ x $ no intervalo $ 1 < x < 3 $.