Verifique se y(t)=sin (2 t) é uma solução do seguinte problema de valor inicial:
d^2 gd t^2-d gd t+4 g=-2 cos (2 t), g(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ y(t) = \sin(2t) $ é uma solução para o problema de valor inicial dado. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y(t) $, substituir na equação diferencial e conferir se a igualdade se mantém, além de verificar a condição inicial $ g(0) = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y(t) = \sin(2t) $.
A primeira derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $ é:
y(t) = sin(2t)
A segunda derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $ é:
y(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial dada:
y(t)
Substituindo:
y'(t)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão resultante:
(-4 sin(2t)) - (2 cos(2t)) + 4 sin(2t) = (-4 sin(2t) + 4 sin(2t)) - 2 cos(2t) = -2 cos(2t)
Então, temos:
y''(t) - y'(t) + 4 y(t) = -2 cos(2t)
O que exatamente é o lado direito da equação diferencial! Isso significa que a igualdade está satisfeita.

Passo 5

Por último, vamos verificar a condição inicial $ g(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ em $ y(t) $:
g(0) = 1
Mas a condição inicial exige que $ g(0) = 1 $. Como $ y(0) = 0 \neq 1 $, a função $ y(t) = \sin(2t) $ não satisfaz a condição inicial.

Resposta

A função $ y(t) = \sin(2t) $ satisfaz a equação diferencial, mas não atende à condição inicial $ g(0) = 1 y(t) = sin(2t) y(t) = \sin(2t) $ não é uma solução do problema de valor inicial dado**.

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