Verifique se
é uma solução do seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ y(t) = \sin(2t) $ é uma solução para o problema de valor inicial dado. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ y(t) $, substituir na equação diferencial e conferir se a igualdade se mantém, além de verificar a condição inicial $ g(0) = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y(t) = \sin(2t) $.
A primeira derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $ é:
A segunda derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $ é:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão resultante:
Então, temos:
O que exatamente é o lado direito da equação diferencial! Isso significa que a igualdade está satisfeita.
Passo 5
Por último, vamos verificar a condição inicial $ g(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ em $ y(t) $:
Mas a condição inicial exige que $ g(0) = 1 $. Como $ y(0) = 0 \neq 1 $, a função $ y(t) = \sin(2t) $ não satisfaz a condição inicial.
Resposta
A função $ y(t) = \sin(2t) $ satisfaz a equação diferencial, mas não atende à condição inicial $ g(0) = 1
y(t) = \sin(2t) $ não é uma solução do problema de valor inicial dado**.