Resolva a equação diferencial.
d^2 yd x^2+y=cossec x, 0<x<pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
d^2ydx^2 + y = csc x, 0<x<pi2
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
d^2ydx^2 + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0Longrightarrow r = pm i,
logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1cos x + C2sin x,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos
y1(x)=cos x, y2(x)=sin x
O Wronskiano vale
W = y1 & y2 y1' & y2' = cos x & sin x -,sin x & cos x =cos^2x+sin^2x=1
As fórmulas para u1' e u2' são
u1' = -,g(x),y2W =-,csc x;sin x=-1,
u2' = g(x),y1W =csc x;cos x=cot x,
onde g(x)=csc x é o termo não homogêneo.

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x)=integral u1',dx=integral(-1),dx=-x,
u2(x)=integral u2',dx=integralcot x,dx=ln!l|sin xr|
No intervalo 0<x<pi/2 temos sin x>0, então ln|sin x|=ln(sin x).

Passo 5

A solução particular é
yp(x)=u1(x),y1(x)+u2(x),y2(x) =-xcos x + ln(sin x),sin x
Logo a solução geral da equação não homogênea é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1cos x + C2sin x - xcos x + sin x,ln(sin x)

Resposta

y(x)=C1cos x + C2sin x - xcos x + sin x,lnl(sin xr)

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