Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
e as condições iniciais
Este é um problema de valor inicial para uma equação homogênea de coeficientes constantes. Vamos usar o polinômio característico para resolver.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado a
Resolvendo, fatoramos
, obtendo as raízes
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Agora aplicamos as condições em
:
Passo 5
Da segunda equação temos
Substituindo em
:
Passo 6
Com
e
, a solução que satisfaz o valor inicial é