Resolva o problema de valor inicial.
y^prime prime+6 y^prime=0, y(1)=3, y^prime(1)=12

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6,y' = 0
e as condições iniciais
y(1)=3, y'(1)=12
Este é um problema de valor inicial para uma equação homogênea de coeficientes constantes. Vamos usar o polinômio característico para resolver.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado a
y'' + 6,y' = 0:
r^2 + 6r = 0
Resolvendo, fatoramos r(r+6)=0, obtendo as raízes
r1 = 0, r2 = -6

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C1 + C2,e^-6x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = ddxl(C1 + C2,e^-6xr) = -6,C2,e^-6x
Agora aplicamos as condições em x=1:
y(1) = C1 + C2,e^-6 = 3,
y'(1) = -6,C2,e^-6 = 12

Passo 5

Da segunda equação temos
-6,C2,e^-6 = 12 Longrightarrow C2,e^-6 = -2 Longrightarrow C2 = -2,e^6
Substituindo em y(1)=3:
C1 + (-2,e^6),e^-6 = 3 Longrightarrow C1 - 2 = 3 Longrightarrow C1 = 5

Passo 6

Com C1=5 e C2=-2,e^6, a solução que satisfaz o valor inicial é
y(x) = 5 ;-; 2,e^6,e^-6x = 5 ;-; 2,e^6(1 - x)

Resposta

y(x) = 5 - 2,e^6(1 - x)

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