Resolva a equação diferencial:
d yd x=3 y+4

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: \ $\frac{dy}{dx} = 3y + 4\$. O conteúdo é ODE linear de coeficientes constantes, e vamos usar fator integrante pra resolver.

Passo 2

Primeiro passo prático é escrever na forma padrão de ODE linear: \ $\frac{dy}{dx} - 3y = 4\$. Aqui identificamos que \ $P(x) = -3\$ e \ $Q(x) = 4\$.

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante \ $\mu(x) = e^{\int P(x) ,dx} = e^{\int -3 ,dx} = e^{-3x}\$. Multiplicando a equação padrão por \ $e^{-3x}\$ dá\ \ $e^{-3x}\frac{dy}{dx} - 3e^{-3x}y = 4e^{-3x}\$ que é exatamente\ \ $\frac{d}{dx}\bigl(y e^{-3x}\bigr) = 4e^{-3x}.\$

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a \ $x\$: \ $y e^{-3x} = \int 4e^{-3x} ,dx = -\tfrac{4}{3}e^{-3x} + C.\$ Depois multiplicamos por \ $e^{3x}\$ e simplificamos pra chegar em
agora isolamos \ $y\$ e obtemos\ \ $y(x) = Ce^{3x} - \tfrac{4}{3}.\$

Resposta

y(x) = Ce^3x - tfrac43

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