Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial \frac{dx}{dy} = -\frac{4y^2 + 6xy}{3y^2 + 2x}. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas: vamos verificar se pode ser escrita na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e, se for exata, encontrar a função potencial.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma M,dx + N,dy = 0 multiplicando ambos os lados por (3y^2 + 2x):
$$
(3y^2 + 2x),dx + (4y^2 + 6xy),dy = 0
$$
(3y^2 + 2x),dx + (4y^2 + 6xy),dy = 0
$$
où M(x,y) = 3y^2 + 2x e N(x,y) = 4y^2 + 6xy.
Passo 3
Verificamos a exatidão checando as derivadas parciais:
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 6y,
\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = 6y.
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 6y,
\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = 6y.
$$
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos:
$$
\psi(x,y) = \int(3y^2 + 2x),dx = 3y^2,x + x^2 + h(y),
$$
\psi(x,y) = \int(3y^2 + 2x),dx = 3y^2,x + x^2 + h(y),
$$
onde
é função arbitrária de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos
. Calculando:
$$
\frac{\partial\psi}{\partial y} = 6yx + h’(y)
$$
\frac{\partial\psi}{\partial y} = 6yx + h’(y)
$$
e igualando a
dá:
$$
h’(y) = 4y^2.
$$
h’(y) = 4y^2.
$$
Integrando, obtemos
Passo 6
Substituindo em
, a função potencial fica:
$$
\psi(x,y) = x^2 + 3y^2x + \tfrac{4}{3}y^3.
$$
\psi(x,y) = x^2 + 3y^2x + \tfrac{4}{3}y^3.
$$
A solução geral implícita da equação diferencial exata é:
$$
\psi(x,y) = C,
$$
\psi(x,y) = C,
$$
ou seja x^2 + 3y^2 x + \tfrac{4}{3}y^3 = C.
Resposta
x^2 + 3y^2 x + \tfrac{4}{3}y^3 = C