Determine o ângulo (entre 0 e
) entre os seguintes vetores de
:
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ângulo, entre 0 e $ \pi $ radianos, entre os vetores $ \mathbf{v}_1 = (-1, 0, 0) $ e $ \mathbf{v}_2 = (0, 1, -1) $ no espaço tridimensional ($ \mathbb{R}^{3} $). Para resolver isso, vamos usar o produto escalar e as magnitudes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $. O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ e $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, vamos calcular as magnitudes de cada vetor. A magnitude de um vetor $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ é dada por:
Calculando para $ \mathbf{v}_1 $:
E para $ \mathbf{v}_2 $:
Passo 4
Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores:
Substituindo os valores que encontramos:
Para encontrar $ \theta $, usamos a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo entre os vetores é $ \theta = \frac{\pi}{2} $ radianos.