Determine o ângulo (entre 0 e π ) entre os seguintes vetores de R^3 :
(-1,0,0) e (0,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo, entre 0 e $ \pi $ radianos, entre os vetores $ \mathbf{v}_1 = (-1, 0, 0) $ e $ \mathbf{v}_2 = (0, 1, -1) $ no espaço tridimensional ($ \mathbb{R}^{3} $). Para resolver isso, vamos usar o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $. O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ e $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ é dado por:
v1
Aplicando isso aos nossos vetores:
v2

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes de cada vetor. A magnitude de um vetor $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ é dada por:
a = (a1, a2, a3)
Calculando para $ \mathbf{v}_1 $:
| a | = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
E para $ \mathbf{v}_2 $:
v1

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo $ \theta $ entre os vetores:
theta
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = v1 cdot v2| v1 | cdot | v2 |
Para encontrar $ \theta $, usamos a função arco cosseno:
cos(theta) = 01 cdot raiz2 = 0

Resposta

O ângulo entre os vetores é $ \theta = \frac{\pi}{2} $ radianos.

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