Determine o ângulo (entre 0 e π ) entre os seguintes vetores de R^3 :
(1,0,0) e (1,-1,1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria vetorial. Precisamos encontrar o ângulo, entre 0 e pi, entre os vetores (1, 0, 0) e (1, -1, 1) no espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou produto interno) e as normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que relaciona o ângulo theta entre dois vetores u e v:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e ||u|| e ||v|| são as normas (ou magnitudes) dos vetores u e v, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u = (1, 0, 0) e v = (1, -1, 1):
u cdot v = (1)(1) + (0)(-1) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores. A norma de um vetor (a, b, c) é dada por:
||u|| = raiza^2 + b^2 + c^2
Para u = (1, 0, 0):
||u|| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1
Para v = (1, -1, 1):
||v|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 5

Agora, substituímos o produto escalar e as normas na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 11 times raiz3 = 1raiz3

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 1raiz3:
theta = arccos(1raiz3)

Resposta

O ângulo entre os vetores (1, 0, 0) e (1, -1, 1) é arccos(1raiz3) radianos.

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