Resolva a equação diferencial dada abaixo:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A equação relaciona a derivada de
com uma função de apenas: . - O objetivo é encontrar a solução geral
, isto é, uma primitiva (antiderivada) da função do lado direito mais uma constante de integração . - Observação sobre domínio: a expressão
exige normalmente ; trabalharemos com essa hipótese (a antiderivada pode ser estendida formalmente para outros ramos complexos, mas aqui mantemos ).
Passo 2
Estratégia básica: como o lado direito depende só de
, a equação é do tipo
Nesses casos a solução geral é
Portanto precisamos calcular a integral indefinida
O desafio é calcular essa integral. Vou fazer uma substituição que simplifica a potência fracionária.
Passo 3
Faço a substituição
Derivando, obtemos
Substituindo na integral,
Passo 4
Agora precisamos calcular
Uma observação útil: a derivada de
é
Então podemos reescrever a integranda de forma que apareça essa derivada. Note que
Isso permite aplicar uma integração por partes “fácil” (ou usar a fórmula
com
e
), o que nos dará termos manejáveis.
Passo 5
Integro usando a identidade anterior. Tomando
,
Integrando por partes (ou usando a primitiva direta),
Ou seja,
Passo 6
A integral
não tem primitiva elementar expressável por funções elementares, mas é definida pela função erro. Definição útil:
Portanto uma primitiva de
é
Substituindo na expressão de
,
Passo 7
Voltando para a variável
(lembre que
e
), obtemos a primitiva desejada:
Portanto a solução geral da equação diferencial é
onde
é a constante de integração e vale para
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução para checar se recuperamos
.
Calcule a derivada de cada termo:
- Para
, usando produto,
- Para
, usar com , então
Somando os dois resultados:
que é exatamente o lado direito da equação diferencial. Verificação concluída.