Resolva a equação diferencial dada abaixo:
c) \frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{x}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{x}}{e^{x}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação relaciona a derivada de y com uma função de x apenas: \dfrac{d y}{d x}=x^{1/2}e^{-x}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), isto é, uma primitiva (antiderivada) da função do lado direito mais uma constante de integração C.
  • Observação sobre domínio: a expressão \sqrt{x} exige normalmente x\ge 0; trabalharemos com essa hipótese (a antiderivada pode ser estendida formalmente para outros ramos complexos, mas aqui mantemos x\ge 0).

Passo 2

Estratégia básica: como o lado direito depende só de x, a equação é do tipo
\frac{d y}{d x}=f(x).
Nesses casos a solução geral é
y(x)=\int f(x)\,dx + C.
Portanto precisamos calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}\,dx=\int x^{1/2}e^{-x}\,dx.
O desafio é calcular essa integral. Vou fazer uma substituição que simplifica a potência fracionária.

Passo 3

Faço a substituição
t=\sqrt{x}\quad\Rightarrow\quad x=t^{2}.
Derivando, obtemos
dx = 2t\,dt.
Substituindo na integral,
\int x^{1/2}e^{-x}\,dx = \int t \, e^{-t^{2}} \cdot 2t\,dt = \int 2t^{2} e^{-t^{2}}\,dt.

Passo 4

Agora precisamos calcular
\int 2t^{2} e^{-t^{2}}\,dt.
Uma observação útil: a derivada de e^{-t^{2}} é
\frac{d}{dt}\big(e^{-t^{2}}\big) = -2t e^{-t^{2}}.
Então podemos reescrever a integranda de forma que apareça essa derivada. Note que
2t^{2} e^{-t^{2}} = -t\cdot\frac{d}{dt}\big(e^{-t^{2}}\big).
Isso permite aplicar uma integração por partes “fácil” (ou usar a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com u=-t e dv=d(e^{-t^2})), o que nos dará termos manejáveis.

Passo 5

Integro usando a identidade anterior. Tomando \;I=\int 2t^{2} e^{-t^{2}}\,dt\;,
I = \int -t\,\frac{d}{dt}\big(e^{-t^{2}}\big)\,dt.
Integrando por partes (ou usando a primitiva direta),
I = -t e^{-t^{2}} + \int e^{-t^{2}}\,dt + C.
Ou seja,
\int 2t^{2} e^{-t^{2}}\,dt = -t e^{-t^{2}} + \int e^{-t^{2}}\,dt + C.

Passo 6

A integral \int e^{-t^{2}}\,dt não tem primitiva elementar expressável por funções elementares, mas é definida pela função erro. Definição útil:
\operatorname{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{u} e^{-s^{2}}\,ds.
Portanto uma primitiva de e^{-t^{2}} é
\int e^{-t^{2}}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(t) + C.
Substituindo na expressão de I,
\int 2t^{2} e^{-t^{2}}\,dt = -t e^{-t^{2}} + \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(t) + C.

Passo 7

Voltando para a variável x (lembre que t=\sqrt{x} e t^{2}=x), obtemos a primitiva desejada:
\int x^{1/2} e^{-x}\,dx = -\sqrt{x}\,e^{-x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}\big(\sqrt{x}\big) + C.
Portanto a solução geral da equação diferencial é
y(x) = -\sqrt{x}\,e^{-x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}\big(\sqrt{x}\big) + C,
onde C é a constante de integração e vale para x\ge 0.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução para checar se recuperamos \dfrac{dy}{dx}=x^{1/2}e^{-x}.
Calcule a derivada de cada termo:
  • Para -\sqrt{x}\,e^{-x}, usando produto,
\frac{d}{dx}\big(-\sqrt{x}\,e^{-x}\big) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x} + \sqrt{x}\,e^{-x}.
  • Para \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(\sqrt{x}), usar \dfrac{d}{du}\operatorname{erf}(u)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^{2}} com u=\sqrt{x}, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(\sqrt{x})\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}.
Somando os dois resultados:
-\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x} + \sqrt{x}\,e^{-x} + \frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x}\,e^{-x},
que é exatamente o lado direito da equação diferencial. Verificação concluída.

Resposta

y(x) = -\sqrt{x}\,e^{-x} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}\big(\sqrt{x}\big) + C

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