Resolva a inequação. \left|\frac{x-5}{4}\right| \leq 6
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação absoluta
\left|\frac{x-5}{4}\right| \leq 6.
Informações dadas:
A expressão dentro do módulo é \dfrac{x-5}{4}.
O lado direito é o número 6.
A pergunta é: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa inequação.
Passo 2
Fato importante (fórmula que vamos usar) — interpretação e demonstração curta:
Para quaisquer números reais A e número B com B\ge0, vale a equivalência
|A|\le B \quad\Longleftrightarrow\quad -B\le A\le B.
Por que isso é verdade? Porque |A| representa a distância de A até 0. Dizer que essa distância é no máximo B significa que A está dentro do intervalo de comprimento 2B centrado em zero, isto é, entre -B e B. Exemplo simples: |x|\le3 equivale a -3\le x\le3.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso com A=\dfrac{x-5}{4} e B=6, obtemos a desigualdade composta
-6 \le \frac{x-5}{4} \le 6.
Passo 4
Agora vamos eliminar o denominador 4. Como 4 é positivo, podemos multiplicar toda a desigualdade composta por 4 sem inverter os sinais:
-6\cdot 4 \le x-5 \le 6\cdot 4.
Calculando os produtos:
-24 \le x-5 \le 24.
Passo 5
Finalmente, isolamos x somando 5 em todas as partes da desigualdade composta:
-24+5 \le x \le 24+5.
Calculando:
-19 \le x \le 29.
Os sinais de igualdade permanecem porque a inequação original era com \le (inclui as extremidades).
Passo 6
Interpretação final: todos os x compreendidos entre -19 e 29, inclusive, satisfazem a inequação. Dica rápida para a prova: sempre transforme |\ldots|\le B em uma desigualdade composta e trate frações multiplicando pelo denominador (atentar se é positivo ou negativo).