Resolva a inequação.
|x-3|<2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação |x-3|<2.
Informações dadas:
  • A expressão com módulo é |x-3|.
  • A desigualdade é estrita: menor que 2.
  • A incógnita é x, que se assume real.
    O que se deseja: encontrar todos os valores de x que satisfazem |x-3|<2.

Passo 2

Entendendo o módulo e uma regra útil (mini-aula): para qualquer número real a e qualquer número real b>0 vale a equivalência
|a|<b \iff -b<a<b.
Por que isso é verdade (explicação sem pular etapas)?
  • Definição do módulo: |a| = a se a\ge0 e |a| = -a se a<0.
  • Se a\ge0 e |a|<b então a<b. Como a\ge0>-b, obtemos -b<a<b.
  • Se a<0 e |a|<b então -a<b, ou seja a>-b. Como também a<0<b, obtemos -b<a<b.
    Portanto em ambos os casos a equivalência é válida. Essa é a receita que vou usar: transformar uma desigualdade com módulo em uma desigualdade composta.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: tome a = x-3 e b=2. Como 2>0, temos
|x-3|<2 \iff -2 < x-3 < 2.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta passo a passo. Somando 3 a todas as partes (isso preserva as desigualdades):
-2 + 3 < x-3 + 3 < 2 + 3.
Fazendo as contas:
1 < x < 5.

Passo 5

Interpretação e notação final: a solução é todos os x estritamente entre 1 e 5. Em notação de intervalo isso é
(1,5).
As extremidades 1 e 5 não pertencem à solução porque a desigualdade é estrita ( <), e para x=1 ou x=5 o módulo vale 2, não menor que 2.

Passo 6

Cheque rápido (para ganhar confiança):
  • Se x=3, então |3-3|=0<2 (vale).
  • Se x=1, então |1-3|=2 (não vale, porque não é menor que 2).
  • Se x=0, então |0-3|=3>2 (não vale). Esses testes confirmam o intervalo encontrado.

Passo 7

Dica de prova/compasso: para qualquer inequação do tipo |x-a|<r com r>0, a solução é sempre o intervalo aberto (a-r,a+r). É uma forma rápida de lembrar no dia da prova. Força aí!

Resposta

1<x<5
(1,5)

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