Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão com módulo é
. - A desigualdade é estrita: menor que
. - A incógnita é
, que se assume real.
O que se deseja: encontrar todos os valores deque satisfazem .
Passo 2
Entendendo o módulo e uma regra útil (mini-aula): para qualquer número real
e qualquer número real
vale a equivalência
Por que isso é verdade (explicação sem pular etapas)?
- Definição do módulo:
se e se . - Se
e então . Como , obtemos . - Se
e então , ou seja . Como também , obtemos .
Portanto em ambos os casos a equivalência é válida. Essa é a receita que vou usar: transformar uma desigualdade com módulo em uma desigualdade composta.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: tome
e
. Como
, temos
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade composta passo a passo. Somando
a todas as partes (isso preserva as desigualdades):
Fazendo as contas:
Passo 5
Interpretação e notação final: a solução é todos os
estritamente entre
e
. Em notação de intervalo isso é
As extremidades
e
não pertencem à solução porque a desigualdade é estrita (
), e para
ou
o módulo vale
, não menor que
.
Passo 6
Cheque rápido (para ganhar confiança):
- Se
, então (vale). - Se
, então (não vale, porque não é menor que ). - Se
, então (não vale). Esses testes confirmam o intervalo encontrado.
Passo 7
Dica de prova/compasso: para qualquer inequação do tipo
com
, a solução é sempre o intervalo aberto
. É uma forma rápida de lembrar no dia da prova. Força aí!