Resolva a equação diferencial dada abaixo:
d) \left(y^{2}+x y^{2}\right) y^{\prime}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{2}+x y^{2}\right) y^{\prime}=1
e pede a sua solução geral. Aqui y é função de x (ou seja y=y(x)) e y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}. Vou encontrar a família de soluções que satisfaz essa equação, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, simplifico a expressão que multiplica y^{\prime}. Factorando y^{2} obtemos
\left(y^{2}+x y^{2}\right)=y^{2}(1+x).
Substituindo na equação dada obtemos
y^{2}(1+x)\,y^{\prime}=1.
Agora isolo y^{\prime} para ver a forma da equação:
y^{\prime}=\frac{1}{y^{2}(1+x)}.
Isto nos mostra que a equação é separável (variáveis y e x aparecem em fatores que podem ser separados), então podemos reorganizar para separar y e x.

Passo 3

Separo as variáveis multiplicando ambos os lados por y^{2} e por dx:
y^{2}\,dy=\frac{dx}{1+x}.
Explicando: a separação significa que todos os termos em y ficam no lado esquerdo como diferencial dy multiplicados por função de y, e todos os termos em x ficam no lado direito como diferencial dx multiplicados por função de x. Agora podemos integrar ambos os lados.

Passo 4

Faço as integrais de ambos os lados. À esquerda é uma potência simples de y; à direita é uma integral do tipo \int \dfrac{dx}{1+x}.
\int y^{2}\,dy = \int \frac{dx}{1+x}.
Calculo cada integral:
  • Pela regra de potência, \int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3} (porque \int y^{n}dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1).
  • Pela fórmula do logaritmo, \int \dfrac{dx}{1+x}=\ln|1+x|+C, onde C é constante de integração. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo; isso registra a dependência do sinal de 1+x.
Portanto, após integração obtemos a relação implícita
\frac{y^{3}}{3}=\ln|1+x|+C.

Passo 5

Multiplico ambos os lados por 3 para simplificar a expressão implícita:
y^{3}=3\ln|1+x|+C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária de integração (valor real qualquer). Esta é a solução implícita da equação diferencial. Observações importantes sobre domínio e constantes:
  • A integral \ln|1+x| exige x\neq -1 (pois 1+x não pode ser zero). Logo a solução está definida em intervalos onde 1+x não muda de sinal, isto é, em intervalos que não contenham x=-1.
  • A constante C_{1} pode ser qualquer número real; isso permite que a expressão dentro do cubo seja negativa, positiva ou zero. Como se trata de y^{3}, para qualquer real do lado direito existe um único y real (a raiz cúbica está definida em \mathbb{R} para todo real).

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito em prova): diferencio a identidade implícita \dfrac{y^{3}}{3}=\ln|1+x|+C. Derivando ambos os lados em relação a x usando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y^{3}}{3}\right)=\frac{d}{dx}\!\big(\ln|1+x|\big).
À esquerda vem \dfrac{1}{3}\cdot 3y^{2}y^{\prime}=y^{2}y^{\prime}. À direita vem \dfrac{1}{1+x}. Assim obtemos
y^{2}y^{\prime}=\frac{1}{1+x},
que é exatamente a forma que obtivemos no Passo 2 (equivalente à equação original). Portanto a solução implícita está correta.

Resposta

\displaystyle y=\bigl(3\ln|1+x|+C\bigr)^{1/3}

Exercícios relacionados