Resolva a equação diferencial dada abaixo:
d)
d)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a sua solução geral. Aqui
é função de
(ou seja
) e
. Vou encontrar a família de soluções que satisfaz essa equação, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, simplifico a expressão que multiplica
. Factorando
obtemos
Substituindo na equação dada obtemos
Agora isolo
para ver a forma da equação:
Isto nos mostra que a equação é separável (variáveis
e
aparecem em fatores que podem ser separados), então podemos reorganizar para separar
e
.
Passo 3
Separo as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Explicando: a separação significa que todos os termos em
ficam no lado esquerdo como diferencial
multiplicados por função de
, e todos os termos em
ficam no lado direito como diferencial
multiplicados por função de
. Agora podemos integrar ambos os lados.
Passo 4
Faço as integrais de ambos os lados. À esquerda é uma potência simples de
; à direita é uma integral do tipo
.
Calculo cada integral:
- Pela regra de potência,
(porque para ). - Pela fórmula do logaritmo,
, onde é constante de integração. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural exige argumento positivo; isso registra a dependência do sinal de .
Portanto, após integração obtemos a relação implícita
Passo 5
Multiplico ambos os lados por
para simplificar a expressão implícita:
onde
é outra constante arbitrária de integração (valor real qualquer). Esta é a solução implícita da equação diferencial. Observações importantes sobre domínio e constantes:
- A integral
exige (pois não pode ser zero). Logo a solução está definida em intervalos onde não muda de sinal, isto é, em intervalos que não contenham . - A constante
pode ser qualquer número real; isso permite que a expressão dentro do cubo seja negativa, positiva ou zero. Como se trata de , para qualquer real do lado direito existe um único real (a raiz cúbica está definida em para todo real).
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito em prova): diferencio a identidade implícita
. Derivando ambos os lados em relação a
usando regra da cadeia:
À esquerda vem
. À direita vem
. Assim obtemos
que é exatamente a forma que obtivemos no Passo 2 (equivalente à equação original). Portanto a solução implícita está correta.