Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Temos a equação diferencial de primeira ordem dada por
O conteúdo é equações diferenciais de 1ª ordem do tipo quociente de polinômios lineares, e vamos usar mudança de variáveis para eliminar os termos constantes, depois tratamento de equação homogênea e separação de variáveis.
Passo 2
Para anular os termos constantes do numerador e do denominador, procuramos um ponto
tal que
Resolvendo esse sistema obtemos
e
. Definimos as novas variáveis
de modo que
Passo 3
Em coordenadas
a equação fica
que é homogênea de grau 1 (só aparece
e
em termos lineares). Usamos a substituição padrão
Passo 4
Substituindo na equação homogênea,
Isolando
obtemos
Passo 5
Agora separamos variáveis:
Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais. Notamos que
e escrevemos
Passo 6
Ao integrar:
Fazendo a decomposição em frações parciais e completando o quadrado no denominador vem
Passo 7
Voltando às variáveis originais temos
e
. A solução geral fica dada implicitamente por
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante de integração.