Resolva a equação diferencial dada.
& d y & d x= & -8 x+3 y+2 & -9 x+5 y-1

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem dada por
dydx=-8x+3y+2-9x+5y-1
O conteúdo é equações diferenciais de 1ª ordem do tipo quociente de polinômios lineares, e vamos usar mudança de variáveis para eliminar os termos constantes, depois tratamento de equação homogênea e separação de variáveis.

Passo 2

Para anular os termos constantes do numerador e do denominador, procuramos um ponto (h,k) tal que
-8h+3k+2=0,
-9h+5k-1=0
Resolvendo esse sistema obtemos h=1 e k=2. Definimos as novas variáveis
X=x-1,
Y=y-2,
de modo que
dYdX=dydx

Passo 3

Em coordenadas (X,Y) a equação fica
dYdX=-8X+3Y-9X+5Y,
que é homogênea de grau 1 (só aparece X e Y em termos lineares). Usamos a substituição padrão
Y=vXLongrightarrowdYdX=v+XdvdX

Passo 4

Substituindo na equação homogênea,
v+XdvdX=-8X+3vX-9X+5vX=3v-85v-9
Isolando XdvdX obtemos
XdvdX=3v-85v-9-v=-5v^2+12v-85v-9

Passo 5

Agora separamos variáveis:
5v-9-5v^2+12v-8,dv=dXX
Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais. Notamos que
-5v^2+12v-8=-(5v^2-12v+8)
e escrevemos
5v-9-5v^2+12v-8=-5v-95v^2-12v+8

Passo 6

Ao integrar:
-integral5v-95v^2-12v+8,dv=integraldXX
Fazendo a decomposição em frações parciais e completando o quadrado no denominador vem
-tfrac12lnlvert5v^2-12v+8rvert+tfrac32arctan!l(5v-62r)=lnlvert Xrvert+C

Passo 7

Voltando às variáveis originais temos v=Y/X=(y-2)/(x-1) e X=x-1. A solução geral fica dada implicitamente por
-lnl(5l(tfracy-2x-1r)^2-12l(tfracy-2x-1r)+8r) +3arctan!l(5(tfracy-2x-1)-62r) =2lnlvert x-1rvert+C'

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
-lnl(5l(tfracy-2x-1r)^2-12l(tfracy-2x-1r)+8r) +3arctan!l(5(tfracy-2x-1)-62r) =2lnlvert x-1rvert+C',
onde C' é constante de integração.

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