Calcule
, onde
e
tem equações paramétricas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é definida pelas equações paramétricas
,
para
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. As equações dadas são:
para
variando de 0 a
. Isso nos dá uma forma de descrever cada ponto na curva em termos de um parâmetro
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o vetor diferencial
. Para isso, derivamos
e
em relação a
:
Portanto, o vetor diferencial é:
Passo 4
Em seguida, substituímos
e
na função do campo vetorial
:
Como
é uma função escalar multiplicada pelo vetor
, temos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Aqui, apenas a componente
contribui para o produto escalar, já que a componente
de
é zero.
Passo 6
Finalmente, integramos a expressão obtida de
a
:
Para resolver essa integral, expandimos o termo
:
Agora, integramos termo a termo:
Sabemos que:
Substituindo:
Somando tudo:
Resposta
A integral
é igual a
.