Calcule integralC F d r, onde F(x, y)=y^2 e C tem equações paramétricas x=t-sin t, y=1-cos t, t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y) = y^2 e a curva C é definida pelas equações paramétricas x = t - sin t, y = 1 - cos t para t in [0, 2pi]. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. As equações dadas são:
x(t) = t - sin t
y(t) = 1 - cos t
para t variando de 0 a 2pi. Isso nos dá uma forma de descrever cada ponto na curva em termos de um parâmetro t.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o vetor diferencial dr. Para isso, derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 1 - cos t
dydt = sin t
Portanto, o vetor diferencial é:
dr = (1 - cos t)dt,i + sin t,dt,j

Passo 4

Em seguida, substituímos x(t) e y(t) na função do campo vetorial F:
F(x(t), y(t)) = (y(t))^2 = (1 - cos t)^2
Como F é uma função escalar multiplicada pelo vetor i, temos:
F(x(t), y(t)) = (1 - cos t)^2i

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (1 - cos t)^2 cdot (1 - cos t)dt + 0 cdot sin t,dt = (1 - cos t)^3dt
Aqui, apenas a componente x contribui para o produto escalar, já que a componente y de F é zero.

Passo 6

Finalmente, integramos a expressão obtida de t = 0 a t = 2pi:
integral0^2pi (1 - cos t)^3dt
Para resolver essa integral, expandimos o termo (1 - cos t)^3:
(1 - cos t)^3 = 1 - 3cos t + 3cos^2 t - cos^3 t
Agora, integramos termo a termo:
integral0^2pi (1 - 3cos t + 3cos^2 t - cos^3 t)dt
Sabemos que:
integral0^2pi cos t,dt = 0
integral0^2pi cos^2 t,dt = pi
integral0^2pi cos^3 t,dt = 0
Substituindo:
integral0^2pi (1)dt = 2pi
-3 cdot 0 = 0
3 cdot pi = 3pi
-0 = 0
Somando tudo:
2pi + 0 + 3pi + 0 = 5pi

Resposta

A integral integralC F cdot dr é igual a 5pi.

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