Resolva a equação diferencial dada.
d yd x=x+y+32 y-x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=x+y+32y-x+3Estamos em EDO de primeira ordem que pode se tornar homogênea após eliminar constantes. Vamos usar mudança de variáveis (translação) e depois método de equação homogênea.

Passo 2

Para eliminar as constantes do numerador e do denominador, achamos um ponto (x0,y0) tal que x0+y0+3=0 e 2y0-x0+3=0. Resolvendo, vem y0=-2 e x0=-1. Definimos as variáveis transladadas
u=x+1, v=y+2

Passo 3

Como y=v-2 e x=u-1, temos
dydx=dvduSubstituindo no lado direito:
dvdu=(u-1)+(v-2)+32(v-2)-(u-1)+3= racu+v2v-u

Passo 4

Observe que a EDO
dvdu=u+v2v-ué homogênea (grau zero em (u,v)). Aplicamos a substituição
v=u,w(u),ou seja, w=v/u. Sabemos que
dvdu=w+udwdu

Passo 5

Substituindo em dv/du:
w+udwdu=u+uw2uw-u=1+w2w-1Fazendo as contas, obtemos a separação de variáveis
duu=-12l(1w-a+1w-br)dw,onde a=(1+raiz3)/2 e b=(1-raiz3)/2. Integrando e voltando de w=v/u cai-se numa solução implícita
(v-au)(v-bu)=K,com constante K.

Passo 6

Voltando a (u,v)=(x+1,y+2) e usando a+b=1, ab=-1/2, a solução fica implícita em x,y:
x^2+2xy-2y^2+6x-6y-3=C,onde C é constante de integração.

Resposta

A solução geral implícita é
x^2+2xy-2y^2+6x-6y-3=C,
com C constante de integração.

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