Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO de primeira ordem
que pertence ao tipo homogêneo a partir de uma translação. Vamos resolver encontrando um ponto que anula numerador e denominador, aplicando mudança de variáveis e separando variáveis.
Passo 2
Encontrar o ponto de equilíbrio: resolvemos o sistema
$$-8x+3y+2=0,\
-9x+5y-1=0.
X=x-1,\quad Y=y-2,$$
odurante a qual
, as retas do numerador e denominador passam a ter termo constante zero.
Passo 3
Equação em
: após substituir obtemos
uma função homogênea de
Substituindo na EDO:
[v+X\frac{dv}{dx}=\frac{-8+3v}{-9+5v}.
Passo 4
Equação separável em
: isolando
vem
$$X\frac{dv}{dx}=\frac{9-5v}{5v^2-12v+8}.
$$
Então
[\frac{9-5v}{5v^2-12v+8},dv=\frac{dX}{X}.
Então
[\frac{9-5v}{5v^2-12v+8},dv=\frac{dX}{X}.
Passo 5
Integração de cada lado: no primeiro termo fazemos decomposição
escrevendo
$$9-5v=-\tfrac12(10v-12)+3.
$$
Isso resulta em
[-\tfrac12\ln|5v^2-12v+8|+\tfrac{3}{2}\arctan\Bigl(\frac{5v-6}{2}\Bigr)=\ln|X|+C.
Isso resulta em
[-\tfrac12\ln|5v^2-12v+8|+\tfrac{3}{2}\arctan\Bigl(\frac{5v-6}{2}\Bigr)=\ln|X|+C.
Passo 6
Reescrevendo em
: voltamos a
e
. Simplificando o logaritmo e o argumento do
temos a solução implícita final:
[3,\arctan\Bigl(\frac{-6x+5y-4}{2(x-1)}\Bigr)-\ln\bigl(8x2-12xy+5y2+8x-8y+4\bigr)=C.
Resposta
A solução geral fica dada implicitamente por
3 arctan\bigl(( -6x+5y-4 )/(2(x-1))\bigr) - ln(8x^2 -12xy +5y^2 +8x -8y +4) = C
3 arctan\bigl(( -6x+5y-4 )/(2(x-1))\bigr) - ln(8x^2 -12xy +5y^2 +8x -8y +4) = C