Resolva a equação diferencial dada.
d yd x=-8 x+3 y+2-9 x+5 y-1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO de primeira ordem
dydx=-8x+3y+2-9x+5y-1,
que pertence ao tipo homogêneo a partir de uma translação. Vamos resolver encontrando um ponto que anula numerador e denominador, aplicando mudança de variáveis e separando variáveis.

Passo 2

Encontrar o ponto de equilíbrio: resolvemos o sistema
$$-8x+3y+2=0,\
-9x+5y-1=0. -8x+3y+2=0, -9x+5y-1=0çãçãX=x-1,\quad Y=y-2,$$
odurante a qual (x,y)=(1,2), as retas do numerador e denominador passam a ter termo constante zero.

Passo 3

Equação em X,Y: após substituir obtemos
dYdx=-8X+3Y-9X+5Y,
uma função homogênea de X e Y. Introduzimos v=Y/X, logo Y=vX e
dYdx=v+Xdvdx
Substituindo na EDO:
[v+X\frac{dv}{dx}=\frac{-8+3v}{-9+5v}.

Passo 4

Equação separável em v: isolando dv/dx vem
$$X\frac{dv}{dx}=\frac{9-5v}{5v^2-12v+8}.
$$
Então
[\frac{9-5v}{5v^2-12v+8},dv=\frac{dX}{X}.

Passo 5

Integração de cada lado: no primeiro termo fazemos decomposição
5v^2-12v+8)'=10v-12,
escrevendo
$$9-5v=-\tfrac12(10v-12)+3.
9-5v=-tfrac12(10v-12)+3 \int\frac{9-5v}{5v2-12v+8},dv=-\tfrac12\int\frac{(10v-12)}{5v2-12v+8},dv+3\int\frac{dv}{5v^2-12v+8}.
$$
Isso resulta em
[-\tfrac12\ln|5v^2-12v+8|+\tfrac{3}{2}\arctan\Bigl(\frac{5v-6}{2}\Bigr)=\ln|X|+C.

Passo 6

Reescrevendo em x,y: voltamos a v=(y-2)/(x-1) e X=x-1. Simplificando o logaritmo e o argumento do arctan temos a solução implícita final:
[3,\arctan\Bigl(\frac{-6x+5y-4}{2(x-1)}\Bigr)-\ln\bigl(8x2-12xy+5y2+8x-8y+4\bigr)=C.

Resposta

A solução geral fica dada implicitamente por
3 arctan\bigl(( -6x+5y-4 )/(2(x-1))\bigr) - ln(8x^2 -12xy +5y^2 +8x -8y +4) = C

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