Resolva a equação diferencial dada.
a. d yd x=e^yx+yx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx=e^y/x+yx. O conteúdo aqui é equações diferenciais homogêneas, pois o lado direito depende apenas do quociente y/x. Vamos usar a substituição v=y/x.

Passo 2

Definimos v=yx, logo y=v x. Derivando em relação a x, temos
dydx=v + xdvdx

Passo 3

Substituímos na equação original:
v + xdvdx = e^v + v
Cancelam-se os v de ambos os lados e sobra
xdvdx=e^v,
ou seja
dvdx=e^vx

Passo 4

É uma equação separável. Separamos as variáveis:
e^-vdv=dxx
Agora integramos ambos os lados:
integral e^-vdv=integraldxx implies -e^-v=ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltamos à variável original. Como v=yx, a solução implícita fica
-,e^-y/x=ln|x|+C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
-e^-y/x=ln|x|+C,
ou, isolando y, admite a forma explícita y=-xln(C1-ln|x|) com constante C1.

Exercícios relacionados