Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
ointC(y^2+z^2) d x+(z^2+x^3) d y+(y^2+x^3) d z
onde C é a curva interseccão do cone y=raizx^2+z^2 com a esfera x^2+y^2+z^2=2, orientada no sentido horário quando C é vista da origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy + R,dz usando o Teorema de Stokes, onde:
P= y2+z2, Q= z^2 + x^3, R= y^2 + x^3
e a curva C é a interseção do cone y=raizx^2+z^2 com a esfera x^2+y^2+z^2=2, orientada no sentido horário quando vista da origem. Vamos precisar do curl de F=(P,Q,R) e de escolher uma superfície S com partial S=C.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o curl de F. Por definição:
nabla times F = l(Ry - Qz,; Pz - Rx,; Qx - Pyr)
Derivadas parciais:
Ry=2y,;Qz=2z → primeira componente = 2y-2z.
Pz=2z,;Rx=3x^2 → segunda componente = 2z-3x^2.
Qx=3x^2,;Py=2y → terceira componente = 3x^2-2y.
Logo:
nabla times F = (2y-2z,;2z-3x^2,;3x^2-2y)

Passo 3

Escolhemos como superfície S o cap esférico definido por x^2+y^2+z^2=2 com y>=raizx^2+z^2. O vetor normal unitário externo à esfera é
n=1raiz2(x,y,z),
e o elemento de área é dS=2sinphi,dphi,dtheta em coordenadas esféricas adaptadas (ângulo phi contado a partir do eixo y).

Passo 4

Precisamos então avaliar
integral duplaS (nablatimes F)cdotn,dS =integral duplaS 1raiz2l((2y-2z)x + (2z-3x^2)y + (3x^2-2y)zr),dS
Simplificando o somatório:
(2y-2z)x + (2z-3x^2)y + (3x^2-2y)z = (y-z)x(2-3x)

Passo 5

Em coordenadas esféricas com raio R=raiz2, tomadas a partir do eixo y:
x=R\sin\phi\cos\theta,
y=R\cos\phi,
z=R\sin\phi\sin\theta,
dS=R^2\sin\phi,d\phi,d\theta=2\sin\phi,d\phi,d\theta.
O integrando torna-se um polinômio em sinphi,cosphi,costheta,sintheta.

Passo 6

Ao separar a integral em termos que envolvem costheta e cos^2theta, nota-se que os termos lineares em costheta ou em sintheta se anulam pela simetria na integração de theta de 0 a 2pi. Só sobra um termo proporcional a
-3,R^3integral0^2picos^2theta,dthetaintegral0^pi/4sin^3phicosphi,dphi

Passo 7

Calculamos separadamente:
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi,
integral0^pi/4sin^3phicosphi,dphi = lsin^4phi4r|0^pi/4 = (tfracraiz22)^44 = 116
Com R=raiz2 temos R^3=2raiz2. Logo o valor da integral de superfície é
1raiz2,R^2l(-3,pi,2raiz216r) = -3pi4

Passo 8

Pelo Teorema de Stokes, temos
ointC Fcdot dr = integral duplaS (nablatimes F)cdotn,dS = -3pi4

Resposta

-\frac{3\pi}{4}

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