Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
onde é a curva interseccão do cone com a esfera , orientada no sentido horário quando C é vista da origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes, onde:
P= y2+z2, Q= z^2 + x^3, R= y^2 + x^3
e a curva é a interseção do cone com a esfera , orientada no sentido horário quando vista da origem. Vamos precisar do curl de e de escolher uma superfície com .
Passo 2
Vamos primeiro calcular o curl de . Por definição:
Derivadas parciais:
→ primeira componente = .
→ segunda componente = .
→ terceira componente = .
Logo:
Passo 3
Escolhemos como superfície o cap esférico definido por com . O vetor normal unitário externo à esfera é
e o elemento de área é em coordenadas esféricas adaptadas (ângulo contado a partir do eixo ).
Passo 4
Precisamos então avaliar
Simplificando o somatório:
Passo 5
Em coordenadas esféricas com raio , tomadas a partir do eixo :
Ao separar a integral em termos que envolvem e , nota-se que os termos lineares em ou em se anulam pela simetria na integração de de 0 a . Só sobra um termo proporcional a
Passo 7
Calculamos separadamente:
Com R=raiz2 temos R^3=2raiz2. Logo o valor da integral de superfície é
1raiz2,R^2l(-3,pi,2raiz216r) = -3pi4
Passo 8
Pelo Teorema de Stokes, temos
ointC Fcdot dr = integral duplaS (nablatimes F)cdotn,dS = -3pi4