Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes problemas de valor inicial (PVI):
a. ld yd x=y^4-x^4 y(0)=7

Passo 1

Temos o PVI dydx=y^4-x^4,;y(0)=7. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade (Picard-Lindelöf) para EDOs; vamos precisar checar continuidade de f(x,y)=y^4-x^4 e se ela satisfaz condição de Lipschitz em y.

Passo 2

Observamos que f(x,y)=y^4-x^4 é contínua em todo R^2. Calculando a derivada parcial em relação a y, temos partial fpartial y(x,y)=4y^3, que também é contínua em R^2.

Passo 3

Como partial f/partial y é contínua num entorno que contém o ponto (0,7), concluímos que f satisfaz a condição de Lipschitz local em y. Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma única solução local que satisfaz o PVI dado.

Passo 4

Adicionalmente, como a condição de Lipschitz vale em qualquer região limitada, essa solução pode ser estendida de forma única em todo o domínio de definição, garantindo unicidade global da solução.

Resposta

O problema de valor inicial possui solução única.

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