resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para achar um fator integrante apropriado e, em seguida, resolver por quadratura. Vamos usar o critério de exatidão e buscar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 2
Escrevendo
verificamos
logo a equação não é exata porque
.
Passo 3
Testamos um fator integrante
. O critério é
que depende só de
. Assim
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora definimos
e checamos
ou seja, a equação tornou-se exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Agora impomos
o que dá
e, portanto,
Logo
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
com
constante de integração.