resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
6 x y d x+(4 y+9 x^2 d y)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
6,x,y,dx + l(4,y + 9,x^2r),dy = 0
e pede para achar um fator integrante apropriado e, em seguida, resolver por quadratura. Vamos usar o critério de exatidão e buscar um fator integrante que dependa apenas de y.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y) = 6,x,y, N(x,y) = 4,y + 9,x^2,
verificamos
partial Mpartial y = 6,x, partial Npartial x = 18,x,
logo a equação não é exata porque 6xneq18x.

Passo 3

Testamos um fator integrante mu=mu(y). O critério é
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr) =18x-6x6xy =12x6x,y =2y,
que depende só de y. Assim
mu(y) = exp!l(integral 2y,dyr) = expl(2ln|y|r) = y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^2, obtendo
6,x,y^3,dx + l(4,y^3 + 9,x^2,y^2r),dy = 0
Agora definimos
widetilde M(x,y)=6,x,y^3, widetilde N(x,y)=4,y^3+9,x^2,y^2
e checamos
partial widetilde Mpartial y=18,x,y^2, partial widetilde Npartial x=18,x,y^2,
ou seja, a equação tornou-se exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = widetilde M = 6,x,y^3
Integrando em x:
Phi(x,y) = integral 6,x,y^3,dx = 3,x^2,y^3 + h(y)
Agora impomos
partial Phipartial y = 9,x^2,y^2 + h'(y) stackrel!=widetilde N=4,y^3+9,x^2,y^2,
o que dá h'(y)=4,y^3 e, portanto,
h(y)=y^4
Logo
Phi(x,y)=3,x^2,y^3 + y^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
3,x^2,y^3 + y^4 = C,
com C constante de integração.

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