Resolva a equação diferencial dada e quando for o caso obtenha a solução do PVI.
y^prime prime prime-4 y^prime prime-5 y^prime=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogenéa de terceira ordem com coeficientes constantes
y’’’ - 4y’’ - 5y’ = 0
Conteúdo: equações diferenciais lineares homogenéas de coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Para aplicar o método, associamos à EDO o polinômio característico substituindo y → e^{rx} de modo que:
r^3 - 4r^2 - 5r = 0
Fatorando, temos:
r(r^2 - 4r - 5) = r(r - 5)(r + 1) = 0
Logo, as raízes são r_1 = 0, r_2 = 5 e r_3 = -1.

Passo 3

Como as raízes são todas reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^0,x + C2 e^5x + C3 e^-x = C1 + C2 e^5x + C3 e^-x

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{5x} + C_3 e^{-x}

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