Uma massa de 3 kg é presa a uma mola com rigidez k=48 N/m. A massa é deslocada 1/2 m para a esquerda do ponto de equilíbrio e recebe uma velocidade de 2 m/s para a direita. A força de amortecimento é insignificante. Encontre a equação do movimento da massa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma massa de 3 kg presa a uma mola com constante de rigidez . A massa foi deslocada para a esquerda do ponto de equilíbrio e recebeu uma velocidade inicial de para a direita. Queremos encontrar a equação do movimento dessa massa. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico simples, como a frequência angular e as condições iniciais para determinar os parâmetros da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a frequência angular omega = raizkm do sistema. A frequência angular está relacionada à constante da mola omega = raiz48 , N/m3 , kg = raiz16 = 4 , rad/s e à massa pela fórmula:
Substituindo os valores dados:

Passo 3

A equação geral do movimento harmônico simples é dada por:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Onde:
  • é a posição da massa em função do tempo.
  • e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de -12 = A cos(0) + B sin(0) e -12 = A .
  1. Condição Inicial de Posição: No instante v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t) , a massa está deslocada 2 = -A omega sin(0) + B omega cos(0) para a esquerda, então 2 = B omega .
Substituindo na equação:
2 = B times 4 implies B = 24 = 0.5
Como e , temos:
  1. Condição Inicial de Velocidade: A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
No instante , a velocidade é :
Novamente, e :
Substituindo :

Resposta

Com os valores de x(t) = -12 cos(4 t) + 0.5 sin(4 t) , m e encontrados, a equação do movimento da massa é:

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