Resolva os problemas a seguir, referente a equação diferencial de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é a função
. - É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear (presença de
). - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou soluções singulares, se houver).
Passo 2
Vamos reconhecer a estrutura da equação e escolher um método. Existe uma classe de equações da forma
onde
é um número real. Para
uma técnica padrão é fazer a substituição
que transforma a equação numa equação linear de primeira ordem para
. Aqui identifiquemos as funções e o expoente:
- Comparando com a forma padrão, temos
, e . - Como
, podemos aplicar a substituição .
Vou explicar a razão da substituição: se
, então por derivação
portanto a combinação envolve
e permite eliminar a parte não linear em
.
Passo 3
Façamos a substituição explicitamente. Definimos
Derivando
em relação a
,
Isolando
,
Agora substituímos
e
em termos de
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
(valendo-se de
temporariamente porque fizemos
):
Mas
, então obtemos a equação linear em
:
Multiplicando por
para colocar na forma padrão:
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Recordando a técnica do fator integrante: para uma equação
, o fator integrante é
Aqui
, logo
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolamos
:
Voltando à substituição
, temos
Podemos manipular essa expressão para um formato mais simples. Multiplicando numerador e denominador por
e reescrevendo:
Colocando sobre um denominador comum
:
Invertendo ambos os lados:
Podemos renomear a constante arbitrária
por
(qualquer constante real diferente de zero até onde o denominador permita):
onde
é uma constante arbitrária real. Essa expressão representa a família de soluções obtidas pela substituição.
Passo 6
Há um caso especial a considerar: a substituição
não permite tratar a solução
. Devemos verificar se
é solução da equação original. Substituindo
na equação
dá
, que é verdadeiro. Assim
é de fato uma solução (solução singular) que não aparece na fórmula obtida para
(porque ali dividimos por
).
Além disso, a solução geral dada por
exige que o denominador
seja diferente de zero no intervalo considerado; pontos onde
geram singularidade vertical da solução. Esses pontos delimitam o domínio maximal de cada solução particular.