Resolva os problemas a seguir, referente a equação diferencial de Bernoulli.
\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2}\\

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e pede a solução geral:
\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função y(x).
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear (presença de y^{2}).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou soluções singulares, se houver).

Passo 2

Vamos reconhecer a estrutura da equação e escolher um método. Existe uma classe de equações da forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde n é um número real. Para n\neq 1 uma técnica padrão é fazer a substituição
z=y^{\,1-n},
que transforma a equação numa equação linear de primeira ordem para z(x). Aqui identifiquemos as funções e o expoente:
  • Comparando com a forma padrão, temos P(x)=-1, Q(x)=e^{x} e n=2.
  • Como n=2\neq1, podemos aplicar a substituição z=y^{\,1-2}=y^{-1}.
Vou explicar a razão da substituição: se z=y^{1-n}, então por derivação
\frac{d z}{d x}=(1-n)\,y^{-n}\frac{d y}{d x},
portanto a combinação envolve y^{-n}\frac{dy}{dx} e permite eliminar a parte não linear em y.

Passo 3

Façamos a substituição explicitamente. Definimos
z=y^{-1}.
Derivando z em relação a x,
\frac{d z}{d x}=-y^{-2}\frac{d y}{d x}.
Isolando \dfrac{d y}{d x},
\frac{d y}{d x}=-y^{2}\frac{d z}{d x}.
Agora substituímos \dfrac{d y}{d x} e y em termos de z na equação original:
\biggl(-y^{2}\frac{d z}{d x}\biggr)-y=e^{x}y^{2}.
Dividindo ambos os lados por y^{2} (valendo-se de y\neq0 temporariamente porque fizemos z=1/y):
-\,\frac{d z}{d x}-y^{-1}=e^{x}.
Mas y^{-1}=z, então obtemos a equação linear em z:
-\,\frac{d z}{d x}-z=e^{x}.
Multiplicando por -1 para colocar na forma padrão:
\frac{d z}{d x}+z=-e^{x}.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
\frac{d z}{d x}+z=-e^{x}.
Recordando a técnica do fator integrante: para uma equação \dfrac{d z}{d x}+P(x)z=R(x), o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x)=1, logo
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicamos a equação por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{d z}{d x}+e^{x}z=-e^{2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}z:
\frac{d}{d x}\bigl(e^{x}z\bigr)=-e^{2x}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
e^{x}z=\int -e^{2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos z:
z=-\tfrac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}.
Voltando à substituição z=y^{-1}, temos
\frac{1}{y}=-\tfrac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}.
Podemos manipular essa expressão para um formato mais simples. Multiplicando numerador e denominador por 2 e reescrevendo:
\frac{2}{y}=-e^{x}+2C e^{-x}.
Colocando sobre um denominador comum e^{-x}:
\frac{2}{y}=e^{-x}\bigl(2C-e^{2x}\bigr).
Invertendo ambos os lados:
y=\frac{2}{e^{-x}\bigl(2C-e^{2x}\bigr)}=\frac{2e^{x}}{2C-e^{2x}}.
Podemos renomear a constante arbitrária 2C por K (qualquer constante real diferente de zero até onde o denominador permita):
y(x)=\frac{2e^{x}}{K-e^{2x}},
onde K é uma constante arbitrária real. Essa expressão representa a família de soluções obtidas pela substituição.

Passo 6

Há um caso especial a considerar: a substituição z=1/y não permite tratar a solução y\equiv0. Devemos verificar se y\equiv0 é solução da equação original. Substituindo y=0 na equação
\frac{d y}{d x}-y=e^{x}y^{2}
0-0=0, que é verdadeiro. Assim y(x)\equiv0 é de fato uma solução (solução singular) que não aparece na fórmula obtida para y (porque ali dividimos por y).
Além disso, a solução geral dada por
y(x)=\frac{2e^{x}}{K-e^{2x}}
exige que o denominador K-e^{2x} seja diferente de zero no intervalo considerado; pontos onde K=e^{2x} geram singularidade vertical da solução. Esses pontos delimitam o domínio maximal de cada solução particular.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{2e^{x}}{K-e^{2x}}, com K constante arbitrária.\n \displaystyle y(x)\equiv 0

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