Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2})
(\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2})
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Usaremos que isso é um caso da equação de Bernoulli (exponente
) e faremos uma substituição que transforme em uma equação linear.
Passo 2
Na equação de Bernoulli
dividimos tudo por
para obter
Agora note que, se definirmos a nova função
então
Logo podemos reescrever
e a equação torna-se
ou seja
Passo 3
Temos agora uma equação linear em
:
O fator integrante é
Multiplicando tudo por
, obtemos
que é
Integrando em
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Voltando à
, temos
Como
, segue
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
onde
é a constante arbitrária de integração.