Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}-y=e^{x} y^{2})

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx - y = e^xy^2
Usaremos que isso é um caso da equação de Bernoulli (exponente n=2) e faremos uma substituição que transforme em uma equação linear.

Passo 2

Na equação de Bernoulli
dydx - y = e^xy^2,
dividimos tudo por y^2 para obter
y^-2dydx - y^-1 = e^x
Agora note que, se definirmos a nova função
u = 1y = y^-1,
então
dudx = -y^-2dydx
Logo podemos reescrever
y^-2dydx = -dudx,
e a equação torna-se
-dudx - u = e^x,
ou seja
dudx + u = -e^x

Passo 3

Temos agora uma equação linear em u:
dudx + u = -e^x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando tudo por e^x, obtemos
e^xdudx + e^xu = -e^2x,
que é
ddxl(e^xur) = -e^2x
Integrando em x:
e^xu = integral -e^2x,dx = -tfrac12 e^2x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando à u, temos
u = -tfrac12 e^2x + Ce^x = -tfrac12 e^x + C e^-x
Como u = 1/y, segue
1y = -tfrac12 e^x + C e^-x Longrightarrow y = 1-tfrac12 e^x + C e^-x
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 2e^x:
y = 2e^x-e^2x + 2C = 2e^x2C - e^2x

Resposta

boxedy(x) = 2e^x2C - e^2x,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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