Resolva a equação diferencial.
2 y^prime prime+4 y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Temos
2y'' + 4y' + 4y = 0
O que vamos usar é o método do polinômio característico para EDOs desse tipo.

Passo 2

Substituímos a hipótese de solução do tipo y=e^rx e dividimos por e^rx (que nunca é zero), obtendo o polinômio característico
2r^2 + 4r + 4 = 0
Para simplificar, dividimos todos os termos por 2 e ficamos com
r^2 + 2r + 2 = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
r^2 + 2r + 2 = 0
O discriminante é
De
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 4

Quando as raízes do polinômio característico são da forma r = alpha pm ibeta, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Aqui identificamos alpha = -1 e beta = 1.

Resposta

y(x) = e^{-x} \bigl(C_1 \cos x + C_2 \sin x\bigr)

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