Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Temos
O que vamos usar é o método do polinômio característico para EDOs desse tipo.
Passo 2
Substituímos a hipótese de solução do tipo
e dividimos por
(que nunca é zero), obtendo o polinômio característico
Para simplificar, dividimos todos os termos por 2 e ficamos com
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
O discriminante é
logo as raízes são complexas conjugadas:
Passo 4
Quando as raízes do polinômio característico são da forma
, a solução geral da EDO é dada por
Aqui identificamos
e
.
Resposta
y(x) = e^{-x} \bigl(C_1 \cos x + C_2 \sin x\bigr)