Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante igual a 3 N / m. Pendurase na mola uma massa de 2 k g e o sistema sofre a ação de uma força externa de 3 cos (3 t). Determine a função que descreve o movimento da masssa em qualquer instante t, considerando a posição inicial igual x0 e veolcidade inicial x0^prime.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento com constante elástica k=3 N/m, massa m=2 kg e força externa F(t)=3 cos(3t). O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem (oscilações forçadas) e vamos precisar: montar a ODE do movimento, achar solução homogênea e particular e, por fim, usar as condições iniciais x(0)=x₀ e x′(0)=x₀′.

Passo 2

A equação do movimento de um sistema massa-mola sem amortecimento é m x″+k x=F(t). Substituindo m=2, k=3 e F(t)=3 cos(3t) temos:
2x'' + 3x = 3cos(3t) Dividindo por 2 fica
x'' + 32x = 32cos(3t)

Passo 3

Para a parte homogênea, resolvemos x’’+(3/2)x=0. A equação característica é r²+3/2=0, com raízes r=±i√(3/2). Logo a solução homogênea é
xh(t)=C1cosl(raiz3/2,tr)+C2sinl(raiz3/2,tr)

Passo 4

Para achar uma solução particular x_p, usamos coeficientes indeterminados. Como a força é cos(3t), supomos
xp(t)=Acos(3t)+Bsin(3t) Derivando e substituindo em x’’+(3/2)x=(3/2)cos(3t) e igualando coeficientes obtemos:
(-9A+tfrac32A)cos(3t)+(-9B+tfrac32B)sin(3t)=tfrac32cos(3t) Assim -7.5A=3/2 ⇒ A=-1/5 e -7.5B=0 ⇒ B=0.

Passo 5

Com isso a solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t)=C1cosl(raiz3/2,tr)+C2sinl(raiz3/2,tr)-tfrac15cos(3t)

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
x(0)=C1-tfrac15=x0 implies C1=x0+tfrac15 Derivando x(t):
x'(t)=-C1raiztfrac32sin(raiztfrac32t)+C2raiztfrac32cos(raiztfrac32t)+tfrac35sin(3t) Em t=0: x’(0)=C_2√(3/2)=x_0’ ⇒ C_2= x_0’√(2/3).

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral chegamos à resposta final.

Resposta

x(t)=l(x0+tfrac15r)cosl(raiztfrac32,tr)+x0'raiztfrac23,sinl(raiztfrac32,tr)-tfrac15cos(3t)

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