Uma mola, de um sistema massa-mola sem amortecimento, tem constante igual a
. Pendurase na mola uma massa de
e o sistema sofre a ação de uma força externa de
. Determine a função que descreve o movimento da masssa em qualquer instante
, considerando a posição inicial igual
e veolcidade inicial
.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola sem amortecimento com constante elástica k=3 N/m, massa m=2 kg e força externa F(t)=3 cos(3t). O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem (oscilações forçadas) e vamos precisar: montar a ODE do movimento, achar solução homogênea e particular e, por fim, usar as condições iniciais x(0)=x₀ e x′(0)=x₀′.
Passo 2
A equação do movimento de um sistema massa-mola sem amortecimento é m x″+k x=F(t). Substituindo m=2, k=3 e F(t)=3 cos(3t) temos:
Passo 3
Para a parte homogênea, resolvemos x’’+(3/2)x=0. A equação característica é r²+3/2=0, com raízes r=±i√(3/2). Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para achar uma solução particular x_p, usamos coeficientes indeterminados. Como a força é cos(3t), supomos
Passo 5
Com isso a solução geral é
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
Passo 7
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral chegamos à resposta final.