Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^prime prime-y^prime+14 y=3+e^x / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - y' + tfrac14,y = 3 + e^x/2
pelo método dos coeficientes indeterminados. Vamos obter primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o termo constante 3 e para o termo exponencial e^x/2. Finalmente, somamos tudo e indicamos em que intervalo (aqui todo R) a solução é válida.

Passo 2

Estudamos a homogênea
y'' - y' + tfrac14,y = 0
A equação característica é
r^2 - r + tfrac14 = 0
com discriminante De<a = 1 - 1 = 0, portanto há raiz dupla
r = tfrac12
Assim a solução geral da homogênea é
yh = l(C1 + C2,xr)e^x/2

Passo 3

Procuramos uma particular yp1 constante para anular o termo 3. Seja
yp1(x) = A
Então y'p1=0 e y''p1=0, e ao substituir na equação obtemos
0 - 0 + tfrac14,A = 3 Longrightarrow A = 12
Logo
yp1(x) = 12

Passo 4

Para anular o termo e^x/2 usamos um candidato do tipo x^m e^alpha x. Aqui alpha=tfrac12 é raiz dupla da característica (multiplicidade m=2), então tentamos
yp2(x) = B,x^2 e^x/2
Calculamos
y'p2 = B,e^x/2l(2x + tfracx^22r), y''p2 = B,e^x/2l(tfracx^24 + 2x + 2r)
Substituindo em y''-y'+tfrac14y encontramos
y''p2-y'p2+tfrac14yp2 = B,e^x/2cdot2 = 2B,e^x/2
que deve igualar e^x/2. Logo 2B=1 e
B = tfrac12
Portanto
yp2(x) = tfrac12,x^2 e^x/2

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = 12 + tfrac12,x^2 e^x/2
Somando à homogênea, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^x/2 + 12 + tfrac12,x^2 e^x/2

Resposta

A solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,x + tfrac12,x^2r),e^x/2 + 12,
válida para todo xinR.

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