Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
pelo método dos coeficientes indeterminados. Vamos obter primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o termo constante
e para o termo exponencial
. Finalmente, somamos tudo e indicamos em que intervalo (aqui todo
) a solução é válida.
Passo 2
Estudamos a homogênea
A equação característica é
com discriminante
, portanto há raiz dupla
Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Procuramos uma particular
constante para anular o termo
. Seja
Então
e
, e ao substituir na equação obtemos
Logo
Passo 4
Para anular o termo
usamos um candidato do tipo
. Aqui
é raiz dupla da característica (multiplicidade
), então tentamos
Calculamos
Substituindo em
encontramos
que deve igualar
. Logo
e
Portanto
Passo 5
A solução particular completa é
Somando à homogênea, a solução geral é
Resposta
A solução geral é
válida para todo
.