Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo 
 . A matéria envolvida aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que a gente usa para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções exponenciais, senos, cossenos ou combinações deles. Para resolver, vamos precisar achar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é 
 . Para isso, assumimos que a solução tem a forma 
  e substituímos na equação, resultando na equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde 
  e 
  são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular 
  para a equação completa 
 . Como o lado direito é 
 , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por 
  para garantir que a solução particular seja independente da homogênea. Vamos supor:
onde 
  e 
  são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar 
  para encontrar 
  e 
 :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo 
 , 
  e 
  na equação original 
  e simplificando, igualamos os coeficientes de 
  e 
  dos dois lados da equação para resolver para 
  e 
 .
Após simplificação, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: