Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que exige:
- encontrar a solução geral da homogênea;
- achar uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
que tem raiz dupla
. Logo, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Agora propomos uma solução particular
para o lado direito
. Como é um polinômio de grau 1 e não “colide” com a solução homogênea (que é exponencial), escolhemos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na equação original:
então
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes de
e termo constante, obtemos
de onde
Assim
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea com a particular: