Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=30 x+3

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10,y' + 25,y = 30,x + 3
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que exige:
  1. encontrar a solução geral da homogênea;
  2. achar uma solução particular para o termo não homogêneo 30x+3.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 10,y' + 25,y = 0
A equação característica é
r^2 - 10,r + 25 = 0,
que tem raiz dupla r = 5. Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^5x

Passo 3

Agora propomos uma solução particular yp(x) para o lado direito 30x+3. Como é um polinômio de grau 1 e não “colide” com a solução homogênea (que é exponencial), escolhemos
yp(x) = A,x + B

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp e substituímos na equação original:
yp' = A, yp'' = 0,
então
yp'' - 10,yp' + 25,yp = 0 - 10A + 25,(A,x + B) = 25A,x + (25B - 10A)
Isso deve ser igual a 30x + 3. Igualando coeficientes de x e termo constante, obtemos
25A = 30, 25B - 10A = 3,
de onde
A = 3025 = 65, 25B - 10cdot65 = 3 implies 25B = 15 implies B = 35
Assim
yp(x) = 65,x + 35

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = l(C1 + C2,xr)e^5x + 65,x + 35

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^5x + 65,x + 35

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