[G6] Derive a função
f(x)=(ln (3 x-1))^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(ln(3x - 1)r)^2,
que está definida para x>tfrac13. Vamos usar a regra da cadeia, identificando a função externa e a interna.

Passo 2

Definimos a parte interna como
u(x) = ln(3x - 1)
e a parte externa como
varphi(u) = u^2
Assim, f(x) = varphil(u(x)r).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
A derivada da externa em relação a u é
varphi'(u) = 2u
A derivada da interna em relação a x é
u'(x) = ddxln(3x-1) = 13x-1cdot 3 = 33x-1

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = varphi'l(u(x)r)cdot u'(x) = 2,u(x);cdot;33x-1
Substituindo u(x)=ln(3x-1),
f'(x) = 2,ln(3x-1);cdot;33x-1 = 6,ln(3x-1)3x-1

Resposta

f'(x) = 6,ln(3x-1)3x-1, x>tfrac13

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