Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+2 y^prime+y=sen x+3 cos 2 x

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = sen x + 3cos 2x
O método dos coeficientes indeterminados nos pede primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular que se ajuste ao lado direito.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 2y' + y = 0,
montamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow;(r + 1)^2 = 0
Como a raiz r=-1 é dupla, a solução homogênea é
yh = C1 e^-x + C2,x,e^-x

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular correspondente ao termo não homogêneo . Como não há ressonância com , fazemos a soma de duas tentativas:

Passo 4

Calculamos e :

Passo 5

Substituímos em e agrupamos coeficientes de :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 6

Resolvendo o sistema
da primeira equação . Substituindo na segunda:
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Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

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