Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. É uma EDO linear com coeficientes constantes de ordem três. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular compatível com o termo forçante
.
Passo 2
Encontramos a solução geral da parte homogênea
Montamos a equação característica
cujas raízes são
(multiplicidade 2) e
. Logo a solução da homogênea é
Passo 3
Para o termo não homogêneo
, em geral tentaríamos um polinômio de grau 2. Mas como
e
já fazem parte de
, multiplicamos o ansatz de grau 2 por
. Assim, escolhemos
e depois veremos que
e
podem ser zerados porque correspondem exatamente às soluções homogêneas
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
, obtemos
Agrupando termos em potências de
:
Igualando coeficientes:
Como
e
gerariam termos já cobertos por
e
, podemos tomar
. Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: