Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime prime+y^prime prime=8 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''' + y'' = 8x^2
usando o método dos coeficientes indeterminados. É uma EDO linear com coeficientes constantes de ordem três. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular compatível com o termo forçante 8x^2.

Passo 2

Encontramos a solução geral da parte homogênea
y''' + y'' = 0
Montamos a equação característica
r^3 + r^2 = r^2(r+1)=0,
cujas raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=-1. Logo a solução da homogênea é
yh = C1 + C2 x + C3 e^-x

Passo 3

Para o termo não homogêneo 8x^2, em geral tentaríamos um polinômio de grau 2. Mas como 1 e x já fazem parte de yh, multiplicamos o ansatz de grau 2 por x^2. Assim, escolhemos
yp = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E,
e depois veremos que D e E podem ser zerados porque correspondem exatamente às soluções homogêneas 1 e x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx + D,
yp'' = 12Ax^2 + 6Bx + 2C,
yp''' = 24Ax + 6B
Substituindo em y''' + y'' =8x^2, obtemos
(24Ax +6B) + (12Ax^2 +6Bx +2C) = 8x^2
Agrupando termos em potências de x:
12A,x^2 + (24A+6B),x + (6B+2C) = 8x^2 + 0x +0
Igualando coeficientes:
12A = 8 Longrightarrow A = tfrac23,
24A +6B = 0 Longrightarrow 24cdottfrac23 +6B =0 ;Longrightarrow; 16 +6B=0 ;Longrightarrow; B = -tfrac83,
6B +2C = 0 Longrightarrow 6l(-tfrac83r)+2C=0 ;Longrightarrow; -16 +2C=0 ;Longrightarrow; C=8
Como D e E gerariam termos já cobertos por C1 e C2x, podemos tomar D=E=0. Logo
yp = tfrac23x^4 - tfrac83x^3 +8x^2

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + tfrac23x^4 - tfrac83x^3 +8x^2

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + 23x^4 - 83x^3 + 8x^2

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